Exercices divers

Exercice 606. \\

1. Calculer $(a+b)(a^2-ab+b^2)$. \\
2. Montrer que le nombre $n = 5^{45}+4^{30}$ n'est pas premier.

Exercice 607. Déterminer les nombre $p$, premiers, tels que $p^2+2$ soit aussi premier. \\ On pourra raisonner modulo 3.

Exercice 608. On cherche à démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4n-1$, où $n \in \N^*$. \\

1. Soit $E$ l'ensemble des nombres premiers de la forme $4n-1$. \\ Montrer qu'il existe deux éléments de $E$. \\
2. On suppose par l'absurde que $E$ est finit et on considère $p_1,\hdots,p_k$ lest $k$ nombres premiers de la forme $4n-1$. \\ On pose $P= p_1 \times \hdots \times p_k$ le produit de ces nombres et on pose $X = 4P-1$. \\
   1. Trouver un minorant de $X$. \\
   2. Montrer que $X$ n'est pas divisible par $2$ et en déduire que tout facteur premier de $X$ est de la forme $4n+1$ ou $4n-1$. \\
   3. Montrer qu'il existe un facteur premier de $X$ de la forme $4n-1$. \\
3. Achever la démonstration.