Probabilités conditionnelles

Exercice 549. Louise se rend au travail avec sa voiture. Sa collègue Zoé ne possède pas de voiture.\\ Chaque matin, Louise propose donc à Zoé de l’emmener. Quelle que soit la réponse de Zoé, Louise lui propose de la ramener le soir.\\ On se place un jour donné. On dispose des informations suivantes :\\
  • la probabilité que Louise emmène Zoé le matin est $0,55$ ;\\
  • si Louise a emmené Zoé le matin, la probabilité qu’elle la ramène le soir est $0,7$ ;\\
  • si Louise n’a pas emmené Zoé le matin, la probabilité qu’elle la ramène le soir est $0,24$.\\
On note $M$ et $S$ les événements suivants :\\
  • $M$ : « Louise emmène Zoé le matin » ;\\
  • $S$ : « Louise ramène Zoé le soir ».\\
  1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.\\
  2. Calculer $P(M \cap S)$. Traduire ce résultat par une phrase.\\
  3. Démontrer que la probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,493$.\\
  4. On sait que Louise a ramené Zoé le soir.\\ Quelle est la probabilité que Louise l’ait emmenée le matin ?\\
Exercice 550. Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match.\\ Cette chaîne a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.\\ On dispose des informations suivantes :\\
  • $56$ % des téléspectateurs ont regardé le match ;\\
  • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;\\
  • $16,2$ % des téléspectateurs ont regardé l’émission.\\
On interroge au hasard un téléspectateur.\\ On note les évènements :\\
  • $M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ;\\
  • $E$ : « le téléspectateur a regardé l’émission ».\\
On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.\\
  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.\\
  2. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.\\
    1. Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.\\
    2. En déduire la valeur de $x$.\\
  4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission.\\ Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?\\
Exercice 551. En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.\\ En $2017$, le pays comptait $52$ % de femmes.\\ Cette même année, $92$ % des Français avaient déjà consommé des produits bio.\\ De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55$ % étaient des femmes.\\ On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de $2017$.\\ On note :\\
  • $F$ l’évènement « la personne choisie est une femme » ;\\
  • $H$ l’évènement « la personne choisie est un homme » ;\\
  • $B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».\\
  1. Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements $F$ et $B$.\\
    1. Montrer que $P(F \cap B) = 0,506$.\\
    2. En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en $2017$, sachant que c’est une femme.\\
  3. Calculer $P_H(\overline{B})$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.\\