Probabilités et suites

Exercice 547. Alice débute au jeu de fléchettes et elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. \\ Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $\Frac{1}{3}$. \\ Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à $\Frac{4}{5}$. \\ On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer. \\ Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on considère les évènements suivants : \\
  • $A_n$ : « Alice atteint la cible au $n$-ième coup ». \\
  • $B_n$ : « Alice rate la cible au $n$-ième coup ». \\
On pose $p_n = P(A_n)$. \\
  1. Déterminer $p_1$ et montrer que $p_2 = \Frac{4}{15}$. \\
  2. Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 2$, $p_n = \Frac{2}{15}p_{n-1}+\Frac{1}{5}$. \\
  3. Pour $n \geqslant 1$, on pose $u_n = p_n- \Frac{3}{13}$. \\ Montrer que $\un$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison. \\
  4. Exprimer $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. \\
  5. Déterminer $\limn p_n$ puis interpréter en dans le contexte de l'exercice.
Exercice 548. Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :\\
  • Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est $\Frac{1}{4}$\\
  • Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est $\Frac{1}{2}$\\
  • La probabilité de gagner la première partie est $\Frac{1}{4}$\\
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l’évènement « la $n^e$ partie est gagnée » et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \Frac{1}{4}$\\
  1. Montrer que $p_2 = \Frac{7}{16}$\\
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = -\Frac{1}{4} p_n + \Frac{1}{2}$\\
  3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :\\
    ex
    \\ Quelle conjecture peut-on émettre ?\\
  4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $(u_n)$ par $u_n = p_n - \Frac{2}{5}$\\
    1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison\\
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \Frac{2}{5} - \Frac{3}{20} \left( -\Frac{1}{4} \right)^{n-1}$\\
    3. La suite $(p_n)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat\\