Sous-espaces vectoriels

Exercice 1150. Montrer que l'ensemble des polynômes de degrés $n$, noté $\R_n[X]$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des polynômes $\R[X]$.

Exercice 1151. Soit $F$ l'ensemble des matrices symétriques, définit par $F = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R) / ^{t}M = M \}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$, $\mathcal{M}_n(\R)$.

Exercice 1152. Soit $E = \mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F = \{f \in E / f \;\; bornée\}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Exercice 1153. On pose $E = \{(x,y,z) \in \R^3 \; / \; x+3y-2z=0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un sous espace vectoriel de $\R^3$.

Exercice 1154. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\R[X]$ ? \\

1. $F = \{P(X) \in \R[X] \; / \; \deg(P) = 3 \}$. \\
2. $G = \{P(X)\in \R[X] \; / \; P'(3) = 0 \}$.

Exercice 1155. Soit $E$ l'espace vectoriel des applications de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F$ l'ensemble des applications affines et $G$ l'ensemble des applications vérifiant $f(1)=f(2)=0$. \\

1. Vérifier que $F$ et $G$ sont des sous-espace vectoriels de $E$. \\
2. Déterminer $F \cap G$.