Sous-espaces vectoriels

Exercice 4906. Si $A$ et $B$ sont deux parties d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, comparer $\mathrm{Vect}(A\cap B)$ et $\mathrm{Vect}(A)\cap \mathrm{Vect}(B)$.
Exercice 4907. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$ ? \\
  1. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x \le y\}$ \\
  2. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy=0\}$ \\
  3. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=y\}$ \\
  4. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=1\}$ \\
  5. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2-y^2=0\}$ \\
  6. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=0\}$
Exercice 4908. Les parties de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{est\; monotone}\}$\\
  2. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{s'annule\; en}\; 0\}$\\
  3. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{s'annule}\}$\\
  4. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{est\; impaire}\}$
Exercice 4909. Montrer que les parties de $\mathcal{F}([a;b],\mathbb{R})$ suivantes sont des sous-espaces vectoriels :\\
  1. $F=\{f\in\mathcal{C}^1([a;b],\mathbb{R})\mid f'(a)=f'(b)\}$\\
  2. $G=\{f\in\mathcal{C}^0([a;b],\mathbb{R})\mid \integrale{a}{b}{f(t)}{t}=0\}$
Exercice 4910. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev, $A,B$ deux $\mathrm{sev}$ de $E$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :\\
  1. $A\cup B$ est un $\mathrm{sev}$ de $E$.\\
  2. $A\subset B$ ou $B\subset A$.
Exercice 4911. Soient $u_1,\ldots,u_n$ des vecteurs d’un $K$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer que \[ F=\{\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_nu_n\mid \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in K\} \] est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteurs $u_1,\ldots,u_n$.
Exercice 4912. Montrer que l'ensemble des polynômes de degrés $n$, noté $\R_n[X]$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des polynômes $\R[X]$.
Exercice 4913. Soit $E = \mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F = \{f \in E / f \;\; bornée\}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 4914. Soit $F$ l'ensemble des matrices symétriques, définit par $F = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R) / ^{t}M = M \}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$, $\mathcal{M}_n(\R)$.
Exercice 4915. On pose $E = \{(x,y,z) \in \R^3 \; / \; x+3y-2z=0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un sous espace vectoriel de $\R^3$.
Exercice 4916. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\R[X]$ ? \\
  1. $F = \{P(X) \in \R[X] \; / \; \deg(P) = 3 \}$. \\
  2. $G = \{P(X)\in \R[X] \; / \; P'(3) = 0 \}$.
Exercice 4917. L’ensemble des polynômes $P$ de $\R[X]$ tels que $0$ et $1$ sont des racines est-il un sous-espace vectoriel de $\R[X]$ ?\\ Même question pour l’ensemble des polynômes $P$ de $\R[X]$ tels que $0$ ou $1$ est une racine.
Exercice 4918. Soit $E$ l'espace vectoriel des applications de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F$ l'ensemble des applications affines et $G$ l'ensemble des applications vérifiant $f(1)=f(2)=0$. \\
  1. Vérifier que $F$ et $G$ sont des sous-espace vectoriels de $E$. \\
  2. Déterminer $F \cap G$.
Exercice 4919. Soit $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $a$ un réel non nul. \\ On appelle $F$ l'ensemble des suites réelles telles que, pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}=au_n$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et justifier que c'est une droite vectorielle.
Exercice 4920. Justifier que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-y=z \; \mathrm{et} \; x+2y=-z\}$ est un espace vectoriel.
Exercice 4921. Pour les $4$ ensembles $F$ suivants, discuter s’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  1. $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y+z\}$ et $E=\mathbb{R}^3$.\\
  2. $F=\{P\in\mathbb{R}[X]\mid P'(X)=X\}$ et $E=\mathbb{R}[X]$.\\
  3. $F=\{M\in M_n(\mathbb{R})\mid M-2{}^tM=0\}$ et $E=M_n(\mathbb{R})$.\\
  4. $F=\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\mid u_0=0\}$ et $E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
Exercice 4922. Montrer que $F=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\mid x_1=x_2=x_3\}$ est un sous-espace vectoriel.
Exercice 4923. Montrer que l’ensemble des fonctions dérivables telles que $f''-2f'+f=0$ est un espace vectoriel.
Exercice 4924. L’ensemble $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\mid (u_n^2) \; \mathrm{est \; constante}\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ? Justifier.
Exercice 4925. Déterminer si les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de $M_2(\mathbb{R})$.\\
  1. $E_1=\left\{ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})\mid ad-bc=1 \right\}$.\\
  2. $E_2=\left\{ \begin{pmatrix} x_1&x_2\\ x_3&x_4 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})\mid x_1+x_2=x_4 \right\}$.\\
  3. $E_3=\{A\in M_2(\mathbb{R})\mid {}^tA=A\}$.
Exercice 4926. On considère les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ \[ u=(1,1,1)\quad \mathrm{et}\quad v=(1,0,-1). \] Montrer \[ \mathrm{Vect}(u,v)=\{(2\alpha,\alpha+\beta,2\beta)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}. \]
Exercice 4927. Montrer que $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $M_n(\mathbb{R})$.
Exercice 4928. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?\\
  1. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ bornée}\}$\\
  2. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ monotone}\}$\\
  3. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ convergente}\}$\\
  4. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ arithmétique}\}$
Exercice 4929. Soit $\omega\in\mathbb{C}$.\\ On note \[ \omega\mathbb{R}=\{\omega x\mid x\in\mathbb{R}\}. \] Montrer que $\omega\mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\ À quelle condition $\omega\mathbb{R}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{C}$-espace vectoriel ?
Exercice 4930. Soient \[ F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y-z=0\} \] et \[ G=\{(a-b,a+b,a-3b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}. \]
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$.\\
  2. Déterminer $F\cap G$.
Exercice 4931. Soit \[ F=\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid \forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+2}=nu_{n+1}+u_n\}. \] Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
Exercice 4932. Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels sur $\R$ :\\ $F_1=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+2y+z=1\}$\\ $F_2=\{u\in\R^\N\mid u\; \mathrm{est}\; \mathrm{monotone}\}$\\ $F_3=\{P(X)\in\R[X]\mid P(X+2)=XP'(X-4)\}$\\ $F_4=\{f\in\mathcal{L}(\R^3)\mid f^3-3f=0\}$\\ $F_5=\{f:x\mapsto a\cos(x+\psi)\in\R^\R\;;\;(a,\psi)\in\R^2\}$\\ $F_6=\{\mathrm{difference}\; \mathrm{de}\; \mathrm{deux}\; \mathrm{fonctions}\; \mathrm{croissantes}\; \mathrm{sur}\; \R\}$\\ $F_7=\{\mathrm{suites}\; \mathrm{arithmetiques}\}$\\ $F_8=\{\mathrm{suites}\; \mathrm{geometriques}\; \mathrm{de}\; \mathrm{raison}\; 3\}$
Exercice 4933. Soit $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $\mathcal{C}$ l’ensemble des fonctions de $E$ croissantes et \[ \Delta=\{f-g\mid f,g\in\mathcal{C}\}. \] Montrer que $\Delta$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 4934. Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel des fonctions de $\R$ dans $\R$, lesquels sont des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. Le sous-ensemble des fonctions positives.\\
  2. Le sous-ensemble des fonctions s’annulant en $1$.\\
  3. Le sous-ensemble des fonctions tendant vers $+\infty$ en $+\infty$.\\
  4. Le sous-ensemble des fonctions admettant une limite finie en $+\infty$.\\
  5. Le sous-ensemble des fonctions périodiques dont $T$ est une période.\\
  6. Le sous-ensemble de toutes les fonctions périodiques (quelle que soit la période).\\
  7. Le sous-ensemble des fonctions de classe $C^n$, mais pas $C^{n+1}$.
Exercice 4935. On note $A$ l’ensemble des suites arithmétiques et $B$ l’ensemble des suites monotones. Les ensembles $A$ et $B$ sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?
Exercice 4936. Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.
Exercice 4937. Soient les sous-ensembles suivants de $E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. \\
  1. Déterminer si $A=\{u\in E \mid u \; \mathrm{est \; bornée}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  2. Déterminer si $B=\{u\in E \mid u \; \mathrm{est \; monotone}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  3. Déterminer si $C=\{(u_n)\in E \mid \forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+2}=u_n\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  4. Déterminer si $D=\{(u_n)\in E \mid \forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}\in\{u_n,-u_n\}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  5. Déterminer si $D'=\{u\in E \mid u \; \mathrm{est \; somme \; d'une \; suite \; croissante \; et \; d'une \; suite \; décroissante}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 4938. Soit $E=\mathbb{R}^4$.\\
  1. Montrer que, parmi les ensembles suivants, seul $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
    1. $F=\{(x,y,z,t)\in E\mid x+z=y+t\}$.\\
    2. $G=\{(x,y,z,t)\in E\mid x\neq 3\}$.\\
    3. $H=\{(x,y,z,t)\in E\mid xz=yt\}$.\\
  2. Soit $E=\mathbb{R}[X]$. Parmi les ensembles suivants, un seul n’est pas un sous-espace vectoriel de $E$. Lequel et pourquoi ? Justifier que les deux autres sont bien des sous-espaces vectoriels de $E$.\\
    1. $F=\{P\in\mathbb{R}[X]\mid P(0)=1\}$.\\
    2. $G=\{P\in\mathbb{R}[X]\mid P+P'=0\}$.\\
    3. $H=\{P\in\mathbb{R}[X]\mid X^2 \; \mathrm{divise} \; P\}$.\\
  3. Soit $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Soit $F$ le sous-ensemble de $E$ des fonctions croissantes sur $\mathbb{R}$. $F$ est-il un sous-espace vectoriel de $E$ ?\\
  4. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des espaces vectoriels ?\\
    • Les suites réelles convergentes.\\
    • Les suites réelles convergentes vers un même $\ell$.\\
    • Les fonctions réelles définies sur $\mathbb{R}$ telles que $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.\\
    • Les fonctions réelles définies sur $\mathbb{R}$ telles que $\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.\\
    • L’ensemble des suites majorées par $1$.\\
    • L’ensemble des suites majorées.\\
    • L’ensemble des suites géométriques.\\
    • L’ensemble des suites arithmétiques.\\
    • $F=\{f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(1)=0\}$.\\
    • $F=\{f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(0)=2\}$.\\
    • L’ensemble des matrices inversibles de taille $n$.
Exercice 4939. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. $\{(x,y)\in\mathbb{R}_+^2\mid x=y\}$.\\
  2. $\{(x,2x,3x)\in\mathbb{R}^3\mid x\in\mathbb{R}\}$.\\
  3. $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=y \; \mathrm{et} \; 3y-2z=0\}$.\\
  4. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^3+x+y^2=0\}$.\\
  5. $\{P\in\mathbb{R}[X]\mid \deg(P)\geqslant 2\}$.\\
  6. $\{P\in\mathbb{R}[X]\mid P(X^2)=P'+X^4P\}$.\\
  7. $\{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(0)+f(1)=f'(0)\}$.\\
  8. L’ensemble des fonctions $1$-périodiques.\\
  9. L’ensemble des fonctions croissantes.\\
  10. L’ensemble des fonctions monotones.\\
  11. L’ensemble des fonctions qui sont la somme d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante.\\
  12. L’ensemble des fonctions majorées.
Exercice 4940. Étudier si les ensembles suivants sont des espaces vectoriels pour leurs lois usuelles.\\
  1. L’ensemble des polynômes ne comportant que des puissances paires de $X$.\\
  2. L’ensemble des suites monotones à valeurs réelles.\\
  3. L’ensemble des fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.\\
  4. L’ensemble des fractions rationnelles n’admettant pas $0$ pour pôle.
Exercice 4941. Soit $E$ l’espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Dire dans les cas suivants si la partie $V$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  1. $V$ est l’ensemble des fonctions bornées.\\
  2. $V$ est l’ensemble des fonctions majorées.\\
  3. $V$ est l’ensemble des fonctions paires.\\
  4. $V$ est l’ensemble des fonctions paires ou impaires.
Exercice 4942. Pour $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, on note :\\ $E_{\mathbb{K}}=\{(x,y,z)\in \mathbb{K}^3\;;\;x^2+2y^2+z^2+2xy+2yz=0\}$.\\ Est-ce que $E$ est un $\mathbb{K}$-ev ?
Exercice 4943. \\
  1. Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille non vide de sous-espaces vectoriels d’un $\K$-ev $E$.\\ On suppose que pour tout $(i,j)\in I^2$ il existe $k\in I$ tel que $F_i\cup F_j\subset F_k$.\\ Démontrer que $\bigcup_{i\in I}F_i$ est un sous-espace de $E$.\\
  2. Étudier la réciproque.
Exercice 4944. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.
Exercice 4945. Soit $E$ l'ensemble des matrices de $M_2(K)$ de la forme \[ A= \begin{pmatrix} a+b & b\\ -b & a-b \end{pmatrix} \] avec $(a,b) \in K^2$.\\
  1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_2(K)$ et en donner une base.
  2. Montrer que $E$ est un sous-anneau commutatif de $M_2(K)$.
  3. Déterminer les inversibles de $E$.
  4. Déterminer les diviseurs de zéro de $E$, c'est-à-dire les matrices $A$ et $B \in E$ vérifiant $AB=O_2$ avec $A,B \neq O_2$.
Exercice 4946. On considère le sous-ensemble de $M_4(\C)$ suivant : \\ \[ E=\left\{ \begin{pmatrix} a & b & b & c \\ b & a & c & b \\ b & c & a & b \\ c & b & b & a \end{pmatrix},\ (a,b,c)\in \C^3 \right\} \]
  1. Démontrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_4(\C)$. Déterminer une base de $E$ et $\dim(E)$. \\
  2. Démontrer que $E$ est un sous-anneau commutatif de $M_4(\C)$. \\
  3. Résoudre l'équation $X^2=I_4$ d'inconnue $X\in E$.
Exercice 4947. Soit $E=\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. On note $f_1(x)=1$ et $f_2(x)=x$ pour tout $x\in[0,1]$.\\ On pose \[ I=\inf\left\{\integrale{0}{1}{(x^2-ax-b)^2}{x}\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\right\}. \] On pose enfin \[ F=\Vect(f_1,f_2) \] et \[ G=\left\{g\in E\mid \integrale{0}{1}{g(x)}{x}=\integrale{0}{1}{xg(x)}{x}=0\right\}. \]
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. On précisera une base de $F$.\\
  2. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$.\\
  3. Justifier l’existence de deux réels à déterminer $a_0$ et $b_0$ et d’une fonction $g\in G$ tels que, pour tout $x\in[0,1]$, $x^2=a_0x+b_0+g(x)$. Dans la suite, on notera $f(x)=a_0x+b_0$.\\
  4. Montrer que pour tout $a,b\in\mathbb{R}$, \[ \integrale{0}{1}{(x^2-ax-b)^2}{x} = \integrale{0}{1}{(f(x)-ax-b)^2}{x} + \integrale{0}{1}{g(x)^2}{x}. \]
  5. Montrer que \[ I=\integrale{0}{1}{g(x)^2}{x}. \]
  6. Conclure sur $I$.