Loi Binomiale

Exercice 553. Un constructeur chinois produit des batteries d'iPhone. \\ La probabilité qu'une batterie soit défectueuse est égale à $5 \times 10^{-3}$. \\ Dans un lot de $200$ batteries, quelle est la probabilité d'avoir : \\
  1. Exactement deux batteries défectueuses ? \\
  2. Au plus deux batteries défectueuses ? \\
  3. Au moins deux batteries défectueuses ?
Exercice 554. Dans une région pétrolifère, la probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est $0,1$. \\ On effectue $9$ forages dont les résultats en terme de possibilité de forage sont indépendants les uns des autres. \\
  1. Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier. \\
  2. Calculer la probabilité qu'au moins un forage sur les $9$ conduise à une nappe de pétrole. \\ On arrondiera à $10^{-3}$.
Exercice 555. Alain achète des composants d'ordinateur dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à $0,02$.\\ On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat de $50$ composants soit assimilé à $50$ tirages indépendants avec remise, et on appelle $X$ le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète $50$ composants.\\
  1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-1}$ près.\\
  2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-2}$ près.\\
  3. Quel est, par lot de $50$ composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux?
Exercice 556. Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs. \\ $80$ personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,02192$. \\ \\ Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les $80$ personnes de ce groupe. \\ \\
  1. Justifier que $X$ suit une loi Binomiale et préciser les paramètres. \\ \\
  2. Calculer l'espérance de $X$, notée $\mathbb{E}[X]$ et interpréter le résultat. \\ \\
  3. Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de : \\ \\
    • la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique. \\ \\
    • la probabilité qu'au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique. \\ \\
  4. Donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
Exercice 557. Afin de créer une loterie, on place dans une urne $n$ boules différentes $(n \geqslant 3)$ dont deux, et seulement deux sont gagnantes. On tire au hasard et successivement trois boules de l'urne et remettant chaque boule tirée avant de tirer la suivante. \\ \\
  1. On suppose que $n=10$. $Y$ désigne la variable aléatoire donnant le nombre de boules gagnantes parmi les trois choisies. Déterminer la loi de $Y$. \\ \\
  2. On revient au cas général, calculer la probabilité $q_n$ d'avoir exactement une boule gagnante parmi les trois.

Exercice 558. Variable aléatoire et loi binomiale

\\ Un élève se rend à vélo au lycée distant de $3$ km de son domicile à une vitesse supposée constante de $15$ km.h$^{-1}$. \\ Sur le parcours, il rencontre $6$ feux tricolores non synchronisés. \\ Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est $\Frac{2}{3}$. \\ Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. \\ On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l’élève sur son parcours et $T$ la variable aléatoire égale au temps en minute mis par l’élève pour aller au lycée. \\
  1. Déterminer la loi de probabilités de $X$. \\
  2. Exprimer $T$ en fonction de $X$. \\
  3. Déterminer $\mathbb{E}[T]$ et interpréter ce résultat. \\
  4. L’élève part $17$ minutes avant le début des cours. \\
    1. Peut-il espérer être à l’heure ? \\
    2. Calculer la probabilité qu’il soit en retard.
Exercice 559. Un fabricant de berlingots possède trois machines A, B et C qui fournissent respectivement 10%, 40% et 50% de la production totale. Le pourcentage de berlingots défectueux est de 3,5% pour la machine A, de 1,5% pour la machine B et de 2,2% pour la machine C. \\ Après fabrication, les berlingots sont versés dans un bac commun aux trois machines. On choisit au hasard un berlingot dans le bac. \\
  1. Montrer que la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C et soit défectueux est 0,011. \\
  2. Calculer la probabilité que ce berlingot soit défectueux. \\
  3. Calculer la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C sachant qu’il est défectueux. \\
  4. On prélève successivement dans le bac 10 berlingots en remettant à chaque fois le berlingot tiré dans le bac. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un berlingot défectueux parmi ces 10 prélèvements.