Coefficients binomiaux
Exercice 576. Calcul mental
\\ Déterminer mentalement la valeur de : \\- $\displaystyle \binom{150}{0}$ \\
- $\displaystyle\binom{150}{1}$ \\
- $\displaystyle\binom{150}{149}$ \\
- $\displaystyle\binom{150}{150}$
Exercice 577. Calcul sans calculatrice
\\ Calculer, sans calculatrice les nombres $\displaystyle\binom{25}{23}$ et $\displaystyle\binom{4}{2}$.Exercice 578. Calcul sans calculatrice
\\ Sans calculatrice, calculer les nombres $A = \Frac{\displaystyle\binom{7}{5}}{\displaystyle\binom{9}{6}}$ et $B = \Frac{\displaystyle\binom{5}{3}\times\binom{6}{4}}{\displaystyle\binom{9}{3}}$.Exercice 579. Utilisation des formules
\\- On donne $\displaystyle \binom{12}{5} = 792$. En déduire $\displaystyle \binom{12}{7}$. \\
- On donne $\displaystyle \binom{10}{3} = 120$ et $\displaystyle \binom{10}{4} = 210$. En déduire $\displaystyle \binom{11}{4}$.
Exercice 580. Petite formule
\\ Montrer que pour tout $n\geqslant 2$ et $1 \leqslant k \leqslant n$, \[ n \times \displaystyle \binom{n-1}{k-1} = k \times \binom n k\]
Exercice
581. Soit deux entiers $n$ et $q$ tels que $n \geqslant q$. \\
En raisonnant par récurrence sur $n$, établir que pour tout entier naturel $n \geqslant q$, $\Sum_{k=q}^{n} \binom k q = \binom{n+1}{q+1}$.