Continuité en un point

Exercice 1052. Soit $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = x\sin{\Frac{1}{x}}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. \\ Montrer que $f$ est continue en $0$.
Exercice 1053. Soit $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \Frac{\sin{x}}{x}$. \\ Montrer que $f$ se prolonge par continuité sur $\R$.
Exercice 1054. Soit $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = x$ si $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ sinon. \\ Montrer que $f$ est continue en $0$. \\ On pourra distinguer les cas $x \in \Q$ et $x \notin \Q$.
Exercice 1055. Soit $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = \sin{\Frac{1}{x}}$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$. \\ Montrer que $f$ n'est pas continue en $0$.
Exercice 1056. Montrer que $f$ définie sur $\R \backslash \{\frac{\pi}{3}\}$ par $f(x) = \Frac{2\cos{x}-1}{x-\frac{\pi}{3}}$ est prolongeable par continuité en $\ps{3}$.
Exercice 1057. Soit $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = x$ si $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ sinon. \\ Pour tout $a \in \R^*$, montrer que $f$ n'est pas continue en $a$. \\ On pourra utiliser le fait que $\Q$ est dense dans $\R$.