Continuité en un point

Exercice 1088. Soit f:R→Rf : \R \to \R définie par f(x)=xsin⁡1xf(x) = x\sin{\Frac{1}{x}} si x≠0x\neq 0 et f(0)=0f(0)=0. Montrer que ff est continue en 00.
Exercice 1089. Soit ff définie sur R∗\R^* par f(x)=sin⁡xxf(x) = \Frac{\sin{x}}{x}. Montrer que ff se prolonge par continuité sur R\R.
Exercice 1090. Soit ff : R→R\R \to \R définie par f(x)=xf(x) = x si x∈Qx \in \Q et f(x)=0f(x) = 0 sinon. Montrer que ff est continue en 00. On pourra distinguer les cas x∈Qx \in \Q et x∉Qx \notin \Q.
Exercice 1091. Soit f:R→Rf : \R \to \R définie par f(x)=sin⁡1xf(x) = \sin{\Frac{1}{x}} si x≠0x \neq 0 et f(0)=0f(0)=0. Montrer que ff n'est pas continue en 00.
Exercice 1092. Montrer que ff définie sur R\{π3}\R \backslash \{\frac{\pi}{3}\} par f(x)=2cos⁡x−1x−π3f(x) = \Frac{2\cos{x}-1}{x-\frac{\pi}{3}} est prolongeable par continuité en π3\ps{3}.
Exercice 1093. Soit ff : R→R\R \to \R définie par f(x)=xf(x) = x si x∈Qx \in \Q et f(x)=0f(x) = 0 sinon. Pour tout a∈R∗a \in \R^*, montrer que ff n'est pas continue en aa. On pourra utiliser le fait que Q\Q est dense dans R\R.