Exercices divers

Exercice 879. On définit les fonctions ch et sh par : \[ch(x) = \Frac{e^x+e^{-x}}{2} \,\, et \,\, sh(x) = \Frac{e^x-e^{-x}}{2}\]
  1. Etude des fonctions sh et ch \\
    1. Quels sont les ensembles de définition de ch et sh ? \\
    2. Etudier la parité de ch et sh. \\
    3. Etudier les variations de sh sur $\R$ puis déduire son signe sur $\R$. \\
    4. Etudier les variations de ch. \\
    5. Montrer que : $\forall x \in \R, \; ch(x) > sh(x)$. \\
    6. Tracer dans un même graphique l'allure des fonctions ch et sh. \\
  2. Quelques formules \\
    1. Montrer que $\forall x \in \R$, $ch^2(x)-sh^2(x)=1$. \\
    2. Montrer que $\forall (a,b) \in \R^2, ch(a)ch(b)+sh(a)sh(b)=ch(a+b)$.
Exercice 880. Soit $f$ définie par $f(x) = \Frac{e^x}{(1+e^x)^2}$. \\
  1. Déterminer $\Df$. \\
  2. Montrer que $f$ est paire. \\
  3. Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et montrer que $\forall x \in \R$, $f'(x) = \Frac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x)^3}$. \\
  4. Donner le tableau de variations de $f$. \\
  5. Montrer que $\forall x \in \Rp$, $-\Frac{1}{3}\leqslant f'(x) \leqslant 0$. \\
  6. Montrer que $\forall x \in \Rp$, $-\Frac{1}{3}x+\Frac{1}{4} \leqslant f(x)$.
Exercice 881. Pour tout réel $x>0$ on pose \[ g(x) = exp\parenthese{\parenthese{2-\Frac{1}{x}}\ln(x)} \]
  1. Déterminer $\limzp g(x)$ et $\limplus g(x)$. \\
  2. Soit $h$ la fonction définie sur $\R^{+}_{*}$ par $\forall x > 0$, $h(x) =\ln(x)+2x-1$. \\
    1. Démontrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $\R^{+}_{*}$. \\
    2. Démontrer qu'il existe un unique réel $\alpha > 0$ tel que $h(\alpha)=0$. Justifier que $\Frac{1}{2}<\alpha<1$. \\
    3. Démontrer que : $\forall x >0$, $g'(x) = \Frac{1}{x^2}h(x)g(x)$. \\
    4. En déduire les variations de la fonction $g$ sur $\R^{+}_{*}$. \\
  3. Démontrer que : $\limplus \Frac{g(x)-x^2}{-x\ln{x}} = 1$.
Exercice 882. Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par \[ F : x \mapsto \Frac{e^x}{1+e^x} \]
  1. Justifier que $F$ est dérivable, déterminer l'expression de $f=F'$, puis justifier que $f' : x \mapsto \Frac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x)^3}$. \\
  2. Dresser le tableau de variation des fonctions $f$ et $F$ sur $\R$. On fera apparaître les limites aux bornes. \\
  3. Déterminer la parité des fonctions $f$ et $F-\Frac{1}{2}$. \\
  4. Sur un schéma, tracer l'allure de la courbe de $F$, en faisant apparaître tous les éléments remarquables (asymptotes, points d'inflexion notamment). \\
  5. Justifier que $F$ réalise une bijection de $\R$ sur un intervalle $I$ (à déterminer), et donner l'expression de $F^{-1}$ la fonction réciproque de $F$. \\
Exercice 883. On considère la fonction $f$ définie sur $\R^{*}_+$ par \[ \forall x \in \R_{+}^{*}, f(x) = \Frac{e^{-x}}{x} \]
  1. Etudier les variations de $f$ sur $\R^{*}_+$ et calculer ses limites aux bornes de son ensemble de définition. \\
  2. Etudier les variations de $g$ définie sur $\R_+$ par $\forall x \in \R_+$, $g(x) = e^{-x}-x^2$. \\
  3. Montrer que l'équation $f(x)=x$ possède une unique solution sur $\R_{+}^{*}$. On notera $\alpha$ cette solution. \\
  4. Montrer que $\Frac{1}{e} < \alpha < 1$.