Limites d'une suite géométrique

Exercice 112. Déterminer la limite de la suite $\un$ définie par $u_n = 2 \parenthese{\Frac{2}{3}}^n+n$.
Exercice 112. Calculer $\limn -8\parenthese{\Frac{1}{5}}^n+ 10\times0,5^n$.
Exercice 113. Etudier la convergence de la suite $\un$ définie pour tout $n \in \N$ par $u_n = -5 \parenthese{\Frac{1}{3}}^{n-1}+6$.
Exercice 114. Déterminer la limite de $u_n = \Frac{3^n}{3^n+1}$.
Exercice 115. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$. \\
  1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0^{\parenthese{\frac{1}{2}}^n}$.\\
  2. Déterminer la limite de la suite $\un$.
Exercice 116. On lance $n$ fois de suite un dé équilibré et on note $p_n$ la probabilité d'obtenir au moins une fois la face 6. \\
  1. Exprimer $p_n$ en fonction de $n$. \\
  2. Calculer puis interpréter $\limn p_n$.

Exercice 117. Démonstration de la limite de $q^n$ en $+\infty$

\\ Soit $a \in \Rpe$.\\
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $(1+a)^n \geqslant 1+na$.\\ Ce résultat s'appelle l'inégalité de Bernoulli. \\
  2. En déduire que $\limn q^n = + \infty$ pour $q > 1$.
Exercice 118. Soit $a \in ]-1,1[$. Pour $n \in \N$, on considère $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a^k$. \\ Montrer que $\limn S_n = \Frac{1}{1-a}$.
Exercice 119. Calculer $\limn \Frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}$.
Exercice 120. Calculer la limite de $(u_n)$ définie par $u_n = \Frac{\frac{1}{n}-1}{0,9^n}$.

Exercice 121. Lycée Parisien

\\ Déterminer l'expression puis la limite de la suite $(S_n)$ définie par $S_n = \Sum_{k=0}^{n} u_k$ avec $u_n = \Frac{3^{n+1}}{5^n}$.
Exercice 122. Calculer $\limn \parenthese{\Frac{1}{3^2}+\Frac{4}{3^4}+\hdots+\Frac{4^{n-1}}{3^{2n}}}$.
Exercice 123. On souhaite démontrer que $0,999\hdots = 1$. \\ Le nombre $0,999\hdots$ comporte des $9$ à l'infini. \\ On note $x = 0,999\hdots$\\
  1. Expliquer pourquoi $x$ est la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de la suite $(S_n)$ définie par $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{9}{10^{k}}$.\\
  2. Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.\\
  3. Calculer $\limn S_n$ puis conclure.
Exercice 124. On considère le nombre $a : 0,63636363\hdots$ constitué d'une infinité de "63" après la virgule. On pose $a_n = 0,636363\hdots63$ constitué de $n$ fois le nombre 63 après la virgule. Ainsi $a_n$ contient $2n$ chiffres après la virgule. \\
  1. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$. \\
  2. Montrer que $a = \Frac{7}{11}$.