Exercices divers

Exercice 648. On pose $\omega = e^{\frac{2i\pi}{5}}$. \\
  1. Montrer que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4 = 0$. \\
  2. On pose $z = \omega + \omega^{-1}$. \\ Déterminer une équation du second degré vérifiée par $z$. \\
  3. En déduire les valeurs de $\cos\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$, $\sin\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$ et $\tan\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$.

Exercice 649. Bac 2018

Soit $(z_n)$ la suite de complexes définie par $z_0 = 8$ et pour tout $n \in \N$, $z_{n+1} = \Frac{3-i\sqrt{3}}{4}z_n$. \\ On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$. \\
    1. Calculer $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle. \\
    2. Placer les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sur une figure. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $z_n = 8\parenthese{\Frac{\sqrt{3}}{2}}^ne^{-i\frac{n\pi}{6}}$. \\
  3. Quelle est la limite de la suite $\parenthese{\abs{z_n}}_{n \in \N}$ ? \\
  4. Montrer que pour tout $k \in \N$, $\Frac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}} = \Frac{1}{\sqrt{3}}$. \\
  5. On note $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée en reliant les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\hdots$, $A_n$. \\ Montrer que $\limn \ell_n = \Frac{8}{2-\sqrt{3}}$.

Exercice 650. Bac 2018

\\ On note $A$ et $B$ les points d'affixe respective $z_A = 1+i\sqrt{3}$ et $z_B = 2i$. \\
  1. Ecrire $z_A$ et $z_B$ sous forme exponentielle. \\ Justifier que $A$ et $B$ sont sur un même cercle dont on précisera le rayon et le centre. \\
  2. Donner l'angle $(\vect{OA}, \vect{OB})$. \\
  3. On pose $z_F = z_A + z_B$. \\
    1. Calculer la mesure de l'angle $(\vect{OA}, \vect{OF})$ puis en déduire l'angle $(\vect{u},\vect{OF})$. \\ $\vect{u}$ est le vecteur du plan complexe $(O, \vect{u}, \vect{v})$. \\
    2. Ecrire $z_F$ sous forme trigonométrique. \\
    3. En déduire la valeur exacte de $\cos\parenthese{\Frac{5\pi}{12}}$. \\
  4. Deux modèles de calculatrices différentes affichent les résultats suivants : \\
    • $\cos\parenthese{\Frac{5\pi}{12}} = \Frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$ \\ $\cos\parenthese{\Frac{5\pi}{12}} = \Frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ \\
    Y-t-a-il un problème ?

Exercice 651. Bac 2007

\\ Soit $f$ telle que pour tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'=f(M)$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \Frac{z}{\abs{z}}(2-\abs{z})$ \\ On note $z = re^{i\theta}$. \\
  1. Montrer que $z' = (2-r)e^{i\theta}$. \\
  2. Soit $B$ d'affixe $z_{B}=-\sqrt{3}+i$. \\ Calculer $z_{B'}$.\\
  3. Montrer que $z'=z \iff z$ est sur le cercle trigonométrique. \\
  4. Soit $M$ d'affixe $z$ tel que $\abs{z} \neq 1$. \\
    1. Montrer que le point $I$, milieu du segment $[MM']$ est sur le cercle trigonométrique. \\
    2. Montrer que les points $O$, $I$ et $M$ sont alignés.
Exercice 652. On définit une suite de nombres complexes $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par : $z_0 = 2$ et, pour $n \geqslant 1$, $z_n = \Frac{1+i}{2} z_{n-1}$. \\ Dans le plan complexe, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$ et $M'_n$ le point d’affixe $iz_n$.\\
    1. Construire les points $M_0, M'_0, M_1, M'_1, M_2, M'_2, M_3, M'_3, M_4$.\\
    2. Donner les valeurs de $z_1, z_2, z_3, z_4$ ainsi que celles de leurs modules et de leurs arguments.\\
  2. Calculer $z_n$, son module et un de ses arguments en fonction de $n$.\\
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$, $k \geqslant 1$, on a $M_{k-1}M_k = \Frac{\sqrt{2}}{2} \left| z_{k-1} \right|$.\\ En déduire la longueur $L_n$ de la ligne polygonale $M_0M_1...M_n$ et calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} L_n$.\\