Exercices divers

Exercice 595. Montrer que pour tout $n \in \N$, $14$ divise $3^{4n+2}+5^{2n+1}$.

Exercice 596. Montrer que $\Frac{\ln{3}}{\ln{2}}$ est un nombre irrationnel.

Exercice 597. Soient les ensemble $\mathscr{E} = \{4p+1, \; p \in \Z\}$ et $\mathscr{F} = \{x \in \R, \; \Frac{(x-1)(x+3)}{32} \in \Z \}$. \\

1. Montrer que $\mathscr{E} \subset \mathscr{F}$. \\
2. Montrer que $\mathscr{F} \not\subset \mathscr{E}$. \\ On pourra résoudre l'équation $\Frac{(x-1)(x+3)}{32} = 2$ puis montrer que la solution positive n'est pas entière, puis que cette solution n'appartient pas à $\mathscr{E}$.