Inversibilité et diagonalisation
Exercice
669. \\
On donne $A = \begin{pmatrix} 0,995 & 0,005 \\ 0,6 & 0,4 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 120 \end{pmatrix}$. \\
- Justifier que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$. \\
- Déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1}AP$. \\
- Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $A^n = PD^nP^{-1}$. \\
- Calculer $D^n$ pour tout $n$ non nul. \\
- En déduire que $A^n = \Frac{1}{21} \begin{pmatrix} 120+0,395^n & 1-0,395^n \\ 120(1-0,3905^n) & 1+120\times0,395^n \end{pmatrix}$.
Exercice
670. \\
On donne les matrices $T = \displaystyle \begin{pmatrix} \frac{9}{16} & \frac{7}{16} \\ \frac{9}{16} & \frac{7}{16} \end{pmatrix}$, $R = \begin{pmatrix} \frac{7}{16} & \frac{-7}{16} \\ \frac{-9}{16} & \frac{9}{16} \end{pmatrix}$ et $M = \begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,9 & 0,1 \end{pmatrix}$. \\
- Démontrer que pour tout $n \in \N^*$, $T^n = T$ et $R^n = R$. \\
- Déterminer le réel $\alpha$ tel que $M = T+\alpha R$. \\
- Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 1$, $M^n = T+\alpha^n R$.