Calcul matriciel
Exercice 667. d'après Hyperbole
Soient les matrices $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -4 & -2 & 8 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} -5 & -4 & 16 \\ 0 & 3 & 0 \\ -4 & -2 & 11 \end{pmatrix}$. \\- Démontrer qu'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $A = aM^2 + bI_3$. \\
- En déduire que $MA = 3M$.
Exercice
668. Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = A-I$. \\
- Peut-on utiliser la formule du binôme de Newton pour développer l'expression $(I+B)^n$ ? \\
- Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3$, $A^n = \displaystyle \binom n 0 I + \displaystyle \binom n 1 B + \binom n 2 B^2$.