Racines n-ièmes

Exercice 656. Démonstration

\\ Calculer la somme $S$ des racines $n$-ièmes de l'unité.
Exercice 657. Résoudre dans $\C$ l'équation $(z+i)^n = (z-i)^n$.
Exercice 658. Résoudre dans $\C$, $z^n +1 = 0$.
Exercice 659. Montrer que les solutions de l'équation $(1+iz)^5 = (1-iz)^5$ sont les $\omega_k = \tan\parenthese{\Frac{k\pi}{5}}$ avec $k \in \llbracket 0, 4 \rrbracket$.
Exercice 660. \\
  1. Décomposition de $X^4+1$ dans $\C$ : \\
    1. Montrer que $X^4=-1 \iff Z^4 = 1$ avec $Z \in \C$ que l'on exprimera. \\
    2. En déduire que $X^4+1 = (X-e^{i\frac{\pi}{4}})(X-e^{3i\frac{\pi}{4}})(X-e^{5i\frac{\pi}{4}})(X-e^{7i\frac{\pi}{4}})$. \\
  2. Décomposition de $X^4+1$ dans $\R$ : \\
    1. Montrer que $(X-e^{i\frac{\pi}{4}})(X-e^{-i\frac{\pi}{4}}) = X^2-\sqrt{2}X+1$. \\
    2. en déduire que $X^4+1 = (X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)$.
Exercice 661. \\ On rappelle que la somme des racines $n$-ième de l'unité est égale à $0$, quelque soit $n \geqslant 2$.\\ Soit $\omega = e^{\frac{2i\pi}{7}}$. \\ On pose $S = \omega + \omega^2 + \omega^4$ et $T = \omega^3 + \omega^5 + \omega^6$. \\
  1. Calculer $S+T$ et $ST$. \\
  2. Montrer que $S$ et $T$ sont solutions de l'équation $X^2+X+2$. \\
  3. Montrer que $\mathcal{Im}(S) = \sin{\Frac{2\pi}{7}}+\sin{\Frac{4\pi}{7}}-\sin{\Frac{\pi}{7}}$. \\
  4. En déduire que $\mathcal{Im}(S) > 0$. \\
  5. En déduire les valeurs exactes de $S$ et $T$.
Exercice 662. Soit $z \in \C^*$ tel que $z \neq 1$. \\
  1. Résoudre l'équation $1+z+z^2+z^3+z^4 = 0$ $(1)$. \\
  2. On pose $x = z+\Frac{1}{z}$. \\ Montrer que $z$ est solution de l'équation $1$ $\iff$ $x$ est solution d'une équation du second degré $(2)$ que l'on précisera. \\
  3. En déduire la valeur de $\cos\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$.
Exercice 663. Soit $n \in \N$ tel que $n \geqslant 2$. \\ On note $\ell_n$ la longueur du polygone régulier formé par les racines $n$-ième de l'unité. \\ Déterminer une expression de $\ell_n$ en fonction de $n$ puis montrer que $\limn \ell_n = 2 \pi$.
Exercice 664. \\ On note $w_k$ les racines $n$-ième de l'unité avec $k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$. \\
  1. Calculer le produit des racines $n$-ième de l'unité noté $P$. \\
  2. Calculer $S= \Sum_{k=0}^{n-1}\binom n k w_k$. \\
  3. Calculer $T = \Sum_{k=0}^{n-1} (w_k)^p$ pour tout $p \in \N^*$.
Exercice 665. Soient $w_k$ les racines $n$-ièmes de l'unité. \\ Calculer la somme $S = \Sum_{k=0}^{n-1}\abs{w_k-1}$.
Exercice 666. Soient $\mathbb{U}_n$ et $\mathbb{U}_m$ les ensembles des racines $n$-ièmes et $m$-ièmes de l'unité avec $m \neq n$. \\
  1. Supposons que $m\mid n$. \\ Montrer que cela implique que $\mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n$. \\
  2. Procédons par contraposée : On montre que si $m$ ne divise pas $n$, alors $\mathbb{U}_m \not\subset \mathbb{U}_n$. \\ Supposons que $m$ ne divise pas $n$, on écrit $n = mq + r$ avec $r \neq 0$. Supposons par l'absurde que $\mathbb{U}_m\subset \mathbb{U}_n$. \\ Soit $z \in \mathbb{U}_m$. \\
    1. Montrer que $z \in \mathbb{U}_r$. \\
    2. En déduire une contradiction. \\
On vient de montrer que l'ensemble $\mathbb{U}_m$ est inclu dans l'ensemble $\mathbb{U}_n$ si et seulement si $m$ divise $n$.