Forme exponentielle

Exercice 639. Démonstrations

\\ En utilisant les formules d'Euler, redémontrer que $\sin{2x} = 2\cos{x}\sin{x}$ pour tout réel $x$.

Exercice 640. Démonstration

\\ Soient $p$ et $q$ deux réels. \\ En utilisant la somme $e^{ip}+e^{iq}$, prouver que \[ \cos{p}+\cos{q}=2\cos{\Frac{p+q}{2}}\cos{\Frac{p-q}{2}}\quad et \quad \sin{p}+\sin{q}=2\sin{\Frac{p+q}{2}}\cos{\Frac{p-q}{2}} \]
Exercice 641. Calculer la forme exponentielle du nombre complexe $e^{i\theta}(1-i)$. \\ En déduire que pour tout réel $\theta$, $\cos{\theta}+\sin{\theta} = \sqrt{2}\cos\parenthese{\theta-\ps{4}}$.

Exercice 642. Le nombre j n°2

Soit $j$ le nombre complexe défini par $j = e^{\frac{2i\pi}{3}}$. \\
  1. Exprimer $\bar{j}$ en fonction de $j$. \\
  2. Résoudre l'équation $\bar{z} = 2z+j$.

Exercice 643. Bac 2007

\\ Soit $z \in \C^*$. \\ On pose $f(z) = \Frac{1}{2}\parenthese{z+\Frac{1}{z}}$. \\ On note $A$ le point d'affixe $1$ et $B$ le point d'affixe $-1$. \\ Montrer que si $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$, alors $M'$ est sur le segment $[AB]$.
Exercice 644. Soient $z_1 = 1-i$ et $z_2 = -8-8\sqrt{3}i$. \\ On pose $Z = \Frac{z_1}{z_2}$. \\
  1. Donner la forme algébrique de $Z$. \\
  2. Ecrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle. \\
  3. Ecrire $Z$ sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique. \\
  4. En déduire que $\cos\parenthese{\Frac{5\pi}{12}} = \Frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. \\
  5. Démontrer que : $\sin\parenthese{\Frac{5\pi}{12}} = \Frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. \\
  6. En utilisant ce qui précède et les formules d'addition, résoudre dans $\R$ l'équation $(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos{x}-(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin{x} = -2\sqrt{3}$.

Exercice 645. Sommes classiques

\\ Soient $n \in \N$ et $\theta \in \R$. Calculer les sommes \[ S = \Sum_{k=0}^{n}\binom n k \cos(k\theta) \quad et \quad T = \sum_{k=0}^{n}\binom n k \sin(k\theta) \]

Exercice 646. Sommes classiques n°2

\\ Soient $n \in \N$ et $\theta \in \R$. Calculer les sommes \[ C = \Sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta) \quad et \quad S = \sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta) \]

Exercice 647. Utilisation des formules d'Euler

\\ Etablir, pour tout $\theta \in ]-\pi,\pi[$, $\Frac{e^{i\theta}-1}{e^{i\theta}+1} = i\tan\parenthese{\Frac{\theta}{2}}$.