Module, argument

Exercice 613. Montrer que pour tout complexes $z$ et $z'$ tels que $\abs{z}=\abs{z'}=1$, $\Frac{z+z'}{1+zz'} \in \R$.
Exercice 614. Montrer que pour tout $z$ tel que $\abs{z}=1$ et $z \neq 1$, le nombre $Z = \Frac{z+1}{z-1}$ est imaginaire pur.
Exercice 615. Soient $z$ et $z'$ deux complexes tels que : \\
  • $z \neq \bar{z}$ \\
  • $z' \neq 1$ \\
Montrer que $\Frac{z-z'\bar{z}}{1-z} \in \R \iff \abs{z'} = 1$.
Exercice 616. Montrer que $\abs{z+1} = \abs{z} + 1 \iff z \in \R^+$.
Exercice 617. \\
  1. Exprimer pour $z \in \C^*$, $\bar{z}$ en fonction de $z$ et $\abs{z}$. \\
  2. Montrer que pour tout complexe non nuls $a,b,c$ tels que $\abs{a}=\abs{b}=\abs{c} =1$, $a+b+c = 0 \iff ab+bc+ac = 0$.
Exercice 618. Soit $z$ et $z'$ deux complexes non nuls. \\ Montrer que $z$ et $z'$ ont les mêmes arguments si et seulement si $\bar{z}z' \in \R_+$.
Exercice 619. \\
  1. Soit $z \in \C^*$. \\ Justifier que $\mathcal{Re}(z) = \abs{z} \iff z \in \R_{+}^*$. \\
  2. Soient deux nombres complexes $z$ et $z'$ non nuls satisfaisant à l'égalité : $\abs{z+z'} = \abs{z} + \abs{z'}$. \\
    1. Montrer que $\mathcal{Re}(z\bar{z'}) = \abs{z\bar{z'}}$. \\
    2. En déduire qu'il existe un réel $\lambda >0$ tel que $z = \lambda z'$. \\
    3. Etudier la réciproque et conclure.
Exercice 620. Soit $z \in \C$ tel que $z \neq 1$ et $\abs{z} \leqslant 1$. \\
  1. Exprimer $\mathcal{Re}(z)$ en fonction de $z$ et $\bar{z}$. \\
  2. Exprimer $\mathcal{Re}\parenthese{\Frac{1}{1-z}}$ en fonction de $\mathcal{Re}(z)$ et $\abs{z}^2$. \\
  3. Justifier que $1-2\mathcal{Re}(z)+\abs{z}^2 = \abs{1-z}^2$. \\
  4. En déduire que $\mathcal{Re}\parenthese{\Frac{1}{1-z}} \geqslant \Frac{1}{2}$.
Exercice 621. Soient $z_1, \hdots, z_n$, $n$ nombres complexes tous non nuls avec $n\geqslant 2$. \\ On pose, pour tout $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $\omega_k = \Frac{z_k}{\abs{z_k}}$. \\ On suppose que $\omega_1+\hdots+\omega_n = 0$. \\
  1. On pose $S(z) = \bar{\omega_1}(z_1-z)+\hdots+\bar{\omega_n}(z_n-z)$ pour tout $z \in \C$. \\ Montrer que $S(z)$ est un réel positif indépendant de $z$. \\
  2. En déduire que pour tout $z \in \C$, $\abs{z_1}+\hdots+\abs{z_n} \leqslant \abs{z-z_1}+\hdots+\abs{z-z_n}$.

Exercice 622. Inégalité triangulaire

\\ On rappelle l'inégalité triangulaire sur $\C$ : \\ Pour tous $z$, $z' \in \C$, on a l'égalité $\abs{z+z'} \leqslant \abs{z}+\abs{z'}$.\\
  1. Montrer que pour tout complexes $z_1, \hdots, z_n$, $\; \abs{z_1+\hdots+z_n} \leqslant \abs{z_1}+\hdots + \abs{z_n}$. \\
  2. Montrer que pour tout complexes $z$ tels que $\abs{z} \neq 1$, $\abs{\Frac{1-z^{n+1}}{1-z}} \leqslant \Frac{1-\abs{z}^{n+1}}{1-\abs{z}}$.
Exercice 623. On considère le complexe $z = \sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$. \\
  1. Déterminer $\abs{z}$. \\
  2. On pose $\theta = \arg(z)$. \\
    1. Pourquoi peut-on choisir $\theta \in \left[0,\ps{2}\right]$ ? \\
    2. Exprimer $\cos{2\theta}$ en fonction de $\cos{\theta}$ puis en déduire $\theta$.
Exercice 624.
  1. Déterminer l’ensemble (A) des points $M$ d’affixe $z$ tels que $z^2 = \Frac{-2}{z}$. Tracer (A). \\
  2. Soit (B) l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $z^3 = \Frac{-2}{z}$.
    1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\left|z^3\right| = \left|\Frac{-2}{z}\right|$. \\
    2. En déduire l’ensemble (B). \\
  3. Déterminer l’ensemble (C) des points $M$ d’affixe $z$ tels que $z \overline{z} - (1+i) \overline{z} - (1-i) z = 0$. On pourra poser $Z = z - (1+i)$ et calculer le produit $Z \overline{Z}$. \\ Construire (C).
Exercice 625. On cherche des nombres complexes $a$, $b$ et $c$ qui vérifient les relations : \\ (R) : $|a|=|b|=|c|=1$ et $a+b+c=0$. \\
  1. Montrer que si $a$, $b$ et $c$ vérifient les relations (R), alors $a$, $b$ et $c$ sont non nuls. \\
  2. On pose $b'=\Frac{b}{a}$ et $c'=\Frac{c}{a}$. \\
    1. Traduire les relations (R) en utilisant les formes trigonométriques des nombres $b'$ et $c'$. \\
    2. Montrer qu'alors $\mathcal{Re}(b') = \mathcal{Re}(c') = -\Frac{1}{2}$. \\
    3. En déduire les nombres complexes $b'$ et $c'$ tels que $a$, $b$ et $c$ vérifient les relations (R). \\
  3. Montrer qu'il existe une infinité de triplets $(a, b, c)$ de nombres complexes vérifiant les relations (R).