Arithmétique

Exercice 671. d'après Bac 1999

Soit $n$ un naturel non nul, on considère les entiers suivants : \[ N = 9n+1 \quad et \quad M = 9n-1 \]

1. On suppose que $n$ est pair. \\
   1. Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs. \\
   2. En remarquant que $N = M +2$, déterminer le pgcd de $M$ et $N$. \\
2. On suppose que $n$ est un entier impair. \\
   1. Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs. \\
   2. En remarquant que $N = M+2$, déterminer le pgcd de $M$ et $N$. \\
3. Pour tout naturel non nul $n$, on considère l'entier $81n^2-1$. \\
   1. Exprimer l'entier $81n^2-1$ en fonction de $M$ et $N$. \\
   2. Démontrer que si $n$ est pair, alors $81n-1$ est pair. \\
   3. Démontrer que $81n^2-1$ est divisible par $4$ si et seulement si $n$ est impair.

Exercice 672. d'après Bac 2000

Soit $n$ un naturel non nul. \\

1. 1. Pour $1 \leqslant n \leqslant 6$, calculer les restes de la division euclidienne de $3^n$ par $7$. \\
   2. Démontrer que pour tout $n$, $3^{n+6}-3^n$ est divisible par $7$. En déduire que $3^n$ et $3^{n+6}$ ont le même reste dans la division par $7$. \\
   3. A l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de $3^{1000}$ par $7$. \\
   4. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de $3^n$ par $7$ pour $n$ quelconque ? \\
   5. En déduire que, pour tout naturel $n$, $3^n$ est premier avec $7$. \\
2. Soit $u_n = \Sum_{k=0}^{n-1}3^k$ où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$. \\
   1. Montrer que si $u_n$ est divisible par $7$, alors $3^n-1$ est divisible par $7$. \\
   2. Réciproquement, montrer que si $3^n-1$ est divisible par $7$ alors $u_n$ est divisible par $7$. \\ En déduire les valeurs de $n$ telles que $u_n$ soit divisible par $7$.

Exercice 673. d'après Bac 2000

Pour tout entier $n \geqslant 5$, on considère les nombres \[ a = n^3-n^2-12n \quad et \quad b = 2n^2-7n-4 \]

1. Montrer que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $n-4$. \\
2. On pose $\alpha = 2n+1$ et $\beta = n+3$. On note $d$ le pgcd de $\alpha$ et $\beta$. \\
   1. Etablir une relation entre $\alpha$ et $\beta$ indépendante de $n$. \\
   2. Démontrer que $d$ est un diviseur de $5$. \\
   3. Démontrer que les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont des multiples de $5$ si et seulement si $n-2$ est multiple de $5$. \\
3. Montrer que $2n+1$ et $n$ sont premiers entre eux. \\
4. 1. Déterminer, suivant les valeurs de $n$ et en fonction de $n$, le pgcd de $a$ et $b$. \\
   2. Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers $n=11$ et $n=12$.

Exercice 674. d'après Bac 2001

Soit $x$ un réel. \\

1. Montrer que $x^4+4=(x^2+2)^2-4x^2$. \\
2. En déduire que $x^4+4$ peut s'écrire comme le produit de deux trinômes à coefficients réels. \\

\\ Soit $n$ un naturel supérieur ou égal à $2$. \\ On considère les entiers $A = n^2-2n+2$ et $B = n^2+2n+2$ et $d$ leur pgcd. \\

1. Montrer que $n^4+4$ n'est pas premier. \\
2. Montrer que tout diviseur de $A$ qui divise $n$, divise $2$. \\
3. Montrer que tout diviseur commun de $A$ et $B$ divise $4n$. \\
4. Dans cette question on suppose $n$ impair. \\
   1. Montrer que $A$ et $B$ sont impairs. En déduire que $d$ est impair. \\
   2. Montrer que $d$ divise $n$. \\
   3. En déduire que $d$ divise $2$, puis que $A$ et $B$ sont premiers entre eux. \\
5. On suppose que $n$ est pair maintenant. \\
   1. Montrer que $4$ ne divise pas $n^2-2n+2$. \\
   2. Montrer que $d$ est de la forme $d=2p$, où $p$ est impair. \\
   3. Montrer que $p$ divise $n$. En déduire que $d=2$.

Exercice 675. d'après Bac 1985

Le but de cet exercice est de démontrer par l'absurde qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4n-1$, où $n$ est un élément de $\N^*$. \\

1. Soit $E$ l'ensemble des nombres premiers de la forme $4n-1$ avec$n \in \N^*$. \\ Montrer que $E$ admet au moins deux éléments. \\
2. On suppose $E$ fini. Soit $P$ le produit de tous les éléments de $E$ et $X=4P-1$. \\
   1. Trouver un minorant de $X$. \\
   2. Montrer que $X$ n'est pas divisible par $2$, et en déduire que tout facteur premier de $X$ est soit de la forme $4n+1$, soit de la forme $4n-1$ où $n \in \N^*$. \\
   3. Montrer que $X$ possède au moins un facteur premier de la forme $4n-1$. \\
3. En considérant un facteur premier $p$ de $X$ de la forme $4n-1$, la définition de $P$ et la relation $X=4P-1$, achever la démonstration par l'absurde.

Exercice 676. d'après Bac 1981

On sait que tout rationnel $r$ peut être représenté, de façon unique par une fraction irréductible $\Frac{p}{q}$ avec $p \in \Z$ et $q \in \N^*$. \\ Soit $f$ l'application de $\Q$ dans $\N^*$ définie par $f(r)=q$. \\

1. Montrer que $1$ est une période de $f$. \\
2. $a$ et $b$ étant deux entiers naturels, montrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a+b$ est premier avec $a$ et avec $ab$. \\
3. On désigne par $r_0 = \Frac{p_0}{q_0}$ un nombre rationnel de l'intervalle $]0,1[$, avec $p_0$ et $q_0$ premiers entre eux. \\ Montrer qu'il existe des rationnels de la forme $\Frac{p_0}{q}$ tels que $f\parenthese{\Frac{p_0}{q}+\Frac{p_0}{q_0}} = q \times q_0$ avec $p_0$ et $q$ premiers entre eux. \\
4. En déduire que $1$ est la plus petite période de $f$.

Exercice 677. Nombres parfaits

Un naturel non nul est dit parfait si la somme de ses diviseurs (notée $S(n)$ pour tout l'exercice) est égale à $2n$. \\

1. Vérifier que $6$ et $28$ sont des nombres parfaits. \\
2. Soit $p$ un entier tel que $2^p-1$ soit premier. Montrer que $p$ est alors premier. \\
3. Montrer alors que $n=2^{p-1}(2^p-1)$ est parfait. \\
4. En déduire la valeur d'un nombre parfait plus grand que $28$. \\
5. On suppose désormais que $n$ est un entier pair, et on pose $n = 2^{a}\times b$, avec $b$ impair, et $a \geqslant 1$. \\
   1. Montrer que $S(n) = (2^{a+1}-1)S(b)$. En déduire que $S(b) = 2^{a+1}c$, avec $c \in \N$. \\
   2. Montrer qu'on a nécessairement $c=1$, et que $b$ est un nombre premier. \\
   3. En déduire que $n$ est forcément de la forme $2^{p-1}(2^p-1)$ avec $2^p-1$ premier.