Forme trigonométrique

Exercice 630. Soient $z_1 = \Frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ et $z_2 = 1-i$. \\
  1. Donner la forme trigonométrique de $z_1$, $z_2$ et $\Frac{z_1}{z_2}$. \\
  2. Donner la forme algébrique de $\Frac{z_1}{z_2}$. \\
  3. En déduire la forme exacte de $\cos{\ps{12}}$ et de $\sin{\ps{12}}$.
Exercice 631. Ecrire sous forme trigonométrique chacun des complexes suivants \\
  1. $z = \parenthese{\sin{\ps{6}+i\cos{\ps{6}}}}^6$ \\
  2. $\arg(iz) = \Frac{3\pi}{4} \modulo{2\pi}$ et $\abs{z} = 2$.

Exercice 632. Démonstration de la formule de Moivre

\\ Démontrer la formule de Moivre : $\forall \theta \in \R$, $\forall n \in \N$, $(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta)+i \sin(n\theta)$.
Exercice 633. Mettre chaque nombre sous forme trigonométrique \\
  1. $z = (-1+i)^5$ \\
  2. $z = \parenthese{\sqrt{3}-i}^4$ \\
  3. $z = \Frac{\parenthese{\sqrt{2}-1}i}{1-i}$
Exercice 634. On note $z_1 = 1+ \cos{\alpha} + i\sin{\alpha}$ avec $\alpha \in [0,\pi[$. \\
  1. Montrer que $z_1 = 2\cos{\Frac{\alpha}{2}}\parenthese{\cos{\Frac{\alpha}{2}+i\sin{\Frac{\alpha}{2}}}}$. \\
  2. En déduire le module et un argument de $z_1$. \\
  3. Reprendre la question précédente lorsque $\alpha \in ]\pi,2\pi]$.
Exercice 635. On définit la suite $(z_n)$ de complexes par $z_0 = 16$ et $z_{n+1} = \Frac{1+i}{2} z_n$. \\ On considère les points $A_n$ d'affixe $z_n$. \\
  1. Calculer $z_1$, $z_2$ et $z_3$. \\
  2. Placer sur un repère les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$. \\
  3. Ecrire le nombre complexe $\Frac{1+i}{2}$ sous forme trigonométrique. \\
  4. Montrer que le triangle $OA_0A_1$ est isocèle rectangle en $A_1$.

Exercice 636. d'après Jean Wacksmann

\\ Pour $\theta \in [0,\pi[$ on pose $z = \Frac{1}{2}\parenthese{\sin{\theta}+(1+\cos{\theta})i}$. \\ Justifier que $z \neq 0$ puis calculer, en fonction de $\theta$, le module et un argument de $z$ puis de $z' =-\Frac{1}{z}$.

Exercice 637. d'après Jean Wacksmann

\\ On pose $z = \cos{\ps{8}}+i\sin{\ps{8}}$. \\
  1. Quel est le module de $z$ ? Quelle est la forme trigonométrique de $z^2$ ? \\
  2. En déduire les lignes trigonométriques de $\ps{8}$, c'est-à-dire les valeurs exactes de $\cos{\ps{8}}$ et $\sin{\ps{8}}$.

Exercice 638. d'après Jean Wacksmann

\\ Soit un nombre complexe $z$ tel que $\abs{z}=1$. \\
  1. En désignant par $\theta$ un argument de $z$, exprimer $\cos{3\theta}$ et $\sin{3\theta}$ en fonction de $\cos{\theta}$ et de $\sin{\theta}$. \\
  2. En déduire : \\
    • $\cos{3\theta}$ comme un polynôme trigonométrique de degré $3$ de la variable $\cos{\theta}$. \\
    • $\sin{3\theta}$ comme un polynôme trigonométrique de degré $3$ de la variable $\sin{\theta}$. \\
  3. Application : Résoudre dans $\R$ l'équation $(E)$ : $4X^3-3X=\Frac{1}{2}$.