Sommes

Exercice 74. Calculer la somme $1 + 3 + 5 + \hdots + 139$.
Exercice 75. Calculer la somme $9+3+1 + \Frac{1}{3} + \Frac{1}{9} + \hdots + \Frac{1}{59049}$.
Exercice 76. Calculer la somme $17 + 22 + 27 + 32 + \hdots + 2547$.
Exercice 77. On considère la suite $\vn$ arithmétique de raison 8 et de premier terme $v_0 = 16$. \\ Justifier que la somme des $n$ premiers termes de cette suite est égale à $4n^2+12n$.
Exercice 78. Calculer la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \parenthese{\Frac{1}{7}}^{k}$.
Exercice 79. On pose $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{9}{10^k}$. \\ Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 80. Soit $u_n = 7\parenthese{\Frac{1}{2}}^n+2n-6$. \\
  1. Vérifier que $u_n = x_n + y_n$ avec $(x_n)$ une suite géométrique et $(y_n)$ arithmétique. \\
  2. En déduire l'expression de $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_k$ en fonction de $n$.
Exercice 81. Soit $\un$ la suite définie pour tout $n\geqslant 1$, par $u_n = 1 +\Frac{1}{\sqrt{2}}+\Frac{1}{\sqrt{3}}+\hdots+\Frac{1}{\sqrt{n}}-n$.\\
  1. Montrer que pour tout $n\geqslant 1$, $u_{n+1} = u_n + \Frac{1}{\sqrt{n+1}}-1$. \\
  2. En déduire que la suite $\un$ est décroissante.
Exercice 82. Soient les suites $\un$ et $\vn$ définies sur $\N^*$ par $u_1 = v_1 =1$ et pour tout $n \geqslant 2$, \[ u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k^2} \quad et \quad v_n = 1 + \Sum_{k=2}^{n} \Frac{1}{(k-1)k} \]
  1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\forall n \geqslant 2$, $\Frac{1}{(n-1)n} = \Frac{a}{n-1}+\Frac{b}{n}$. \\
  2. Montrer que pour tout $n\geqslant2$, $v_n = 2-\Frac{1}{n}$. \\
  3. Montrer que $\un$ est croissante et que pour tout $n \in \N$,$u_n \leqslant v_n$ puis en déduire que $\un$ est majorée.