Suites et matrices

Exercice 1049.

1. On donne $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$. $$$$ Calculer $A^2$. $$$$ En déduire $A^n$ pour tout $n \in \N$. $$$$
2. Vérifier que pour tout $x \neq 0$, $\Sum_{k=0}^{n} \binom n k x^k = (1+x)^n$ et $\Sum_{k=1}^{n}\binom n k x^{k-1} = \Frac{1}{x}((1+x)^n-1)$. $$$$
3. On pose $B = I_2 +A$.$$$$ Calculer $B^n$ pour tout $n \in \N$.

Exercice 1050. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $$$$

1. Déterminer la matrice $J$ telle que $A = 2I_3 + J$. Calculer $J^2$ et $J^3$. En déduire $A^n$ pour tout entier $n$. $$$$
2. On considère trois suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ définies par leur premier terme : $x_0$, $y_0$, $z_0$ et la relation $$$$ $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad \begin{cases} 2x_{n+1} = x_n + 3y_n \\ 2y_{n+1} = y_n + 2z_n \\ 2z_{n+1} = z_n \end{cases}$$ Déterminer $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ en fonction de $n$ et de $x_0$, $y_0$, $z_0$. $$$$ Les suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ sont-elles convergentes ? $$$$

Exercice 1051. Soit Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. $$$$

1. Vérifier que $A^2=A+2I_3$. En déduire que $A$ est inversible et déterminer son inverse. $$$$
2. Montrer que pour tout $n \in \N$, il existe deux réels $u_n$ et $v_n$ tels que $A^n = u_n A+ v_n I_3$. On précisera les relations entre $u_{n+1}$ et $u_n$ puis entre $v_{n+1}$ et $v_n$. $$$$
3. On pose $\alpha_n = 2u_n+v_n$ et $\beta_n = u_n-v_n$. Reconnaître les suites $\alpha$ et $\beta$. $$$$ En déduire l'expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, puis $A^n$ pour tout $n$.

Exercice 1052. On considère les suites $\un$ et $\vn$ définies par $u_0$, $v_0$ et $u_{n+1} = 6u_n-v_n$ et $v_{n+1} = u_n+4v_n$. $$$$ En introduisant une matrice $A$ bien choisie vérifiant $\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$, démontrer successivement que $\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix}$, puis $A = 5I_2+ J$ avec $J^2=0$. $$$$ Déterminer alors $A^n$, puis l'expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.

Exercice 1053. On considère la suite $u$ définie par $u_0 = 2$, $u_1 = 1$, $u_2 = -1$ puis $$u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} -2u_n$$ On définit les matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. $$$$

1. Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$. Que vaut $D = P^{-1}AP$ ? En déduire $D^n$. $$$$
2. Montrer que pour tout $n$, $D^n = P^{-1}A^nP$. En déduire les coefficients de $A^n$. $$$$
3. Pour tout $n$, on pose $X_n = \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}$. $$$$
   1. Vérifier que pour tout $n$, $X_{n+1} = AX_n$. En déduire $X_n$ en fonction de $A^n$ et de $X_0$. $$$$
   2. Déterminer la valeur de $u_n$ en fonction de $n$.