Suites et matrices

Exercice 1626.

1. On donne $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$. \\ Calculer $A^2$. \\ En déduire $A^n$ pour tout $n \in \N$. \\
2. Vérifier que pour tout $x \neq 0$, $\Sum_{k=0}^{n} \binom n k x^k = (1+x)^n$ et $\Sum_{k=1}^{n}\binom n k x^{k-1} = \Frac{1}{x}((1+x)^n-1)$. \\
3. On pose $B = I_2 +A$.\\ Calculer $B^n$ pour tout $n \in \N$.

Exercice 1627. On considère la matrice $ A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $ \\

1. Déterminer la matrice $J$ telle que $A = 2I_3 + J$. Calculer $J^2$ et $J^3$. En déduire $A^n$ pour tout entier $n$. \\
2. On considère trois suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ définies par leur premier terme : $x_0$, $y_0$, $z_0$ et la relation \\ \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \begin{cases} 2x_{n+1} = x_n + 3y_n \\ 2y_{n+1} = y_n + 2z_n \\ 2z_{n+1} = z_n \end{cases} \] Déterminer $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ en fonction de $n$ et de $x_0$, $y_0$, $z_0$. \\ Les suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ sont-elles convergentes ? \\