Puissances de matrices

Exercice 1120. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer que $A$ peut s'écrire sous la forme $I_3+J$ où $J$ est une matrice à déterminer. \\
  2. Calculer $J^2$ et $J^3$. En déduire l'expression pour tout entier $n$ de $A^n$ en fonction de $I_3$, $J$ et $n$.
Exercice 1121. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ et $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Exprimer $A$ sous la forme $\alpha I_3 + \beta J$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. \\
  2. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n$.
Exercice 1122. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $I = \diag(1,1,1)$. \\
  1. On pose $N = A - 2I$, calculer $N$, $N^2$ et $N^3$. \\
  2. En déduire à l’aide du binôme de Newton, $A^n$ pour $n \in \N$. \\
Exercice 1123. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$. \\
  2. Calculer $D = P^{-1}AP$. \\
  3. Déterminer pour tout entier naturel $n$, $D^n$. \\
  4. Justifier que, $A = PDP^{-1}$ puis, pour tout entier naturel $n$, $A^n = PD^nP^{-1}$. \\
  5. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n \in \N$.
Exercice 1124. On pose \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}. \]
  1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $A^2 = aA + bI_3$. En déduire que $A$ est inversible et donner son inverse. \\
  2. Démontrer par récurrence l’existence de deux suites de réels $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que : \[ \forall n \in \N, \quad A^n = a_n A + b_n I_3. \] \\
  3. Déterminer une expression explicite de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$, en déduire les coefficients de $A^n$. \\

Exercice 1125. EDHEC 2019 ECE

\\ On considère les matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$. \\
    1. Calculer $(A-I)^2$. \\
    2. En déduire que $A$ est inversible et écrire $A^{-1}$ comme combinaison linéaire de $I$ et $A$. \\
  2. On pose $A = N+I$. \\
    1. Exprimer pour tout $n \in \N$, $A^n$ comme combinaison linéaire de $I$ et $N$, puis l'écrire comme combinaison linéaire de $I$ et $A$. \\
    2. Vérifier que l'expression précédente est aussi valable pour $n=-1$.
Exercice 1126. Soit $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $M^3$. \\
  2. En déduire $M^n$ pour tout naturel $n$. \\
  3. Justifier que $M$ est inversible et déterminer $M^{-1}$.
Exercice 1127. On pose $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$. \\
  2. Conjecturer l'expression de $A^n$ en fonction de $n \in \N^*$. \\
  3. Démontrer votre conjecture.
Exercice 1128. Déterminer les puissances $n$-ièmes de $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Exercice 1129. On pose $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$. \\ Calculer $A^n$ pour tout $n \geqslant 1$.
Exercice 1130. Calculer la puissance $n$-ième de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Exercice 1131. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 6 & -5 & 6 \\ 3 & -3 & 4 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, il existe un réel $\alpha_n$ tel que $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2\alpha_n & 1-2\alpha_n & 2\alpha_n \\ \alpha_n & -\alpha_n & \alpha_n + 1 \end{pmatrix}$. \\
  2. Montrer que la suite $(\alpha_n)$ est arithmético-géométrique. \\
  3. En déduire les expressions de $\alpha_n$ puis $A^n$ en fonction de $n$.
Exercice 1132. Soit $a \neq 0$. Soit \[ A=\begin{pmatrix} 0 & a & a^2 \\ \\ \Frac{1}{a} & 0 & a \\ \\ \Frac{1}{a^2} & \Frac{1}{a} & 0 \end{pmatrix}. \] Calculer $A^n$ pour tout $n \in \N$.\\ La formule fonctionne-t-elle pour $n$ négatif ?