Puissances de matrices

Exercice 974. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer que $A$ peut s'écrire sous la forme $I_3+J$ où $J$ est une matrice à déterminer. \\
  2. Calculer $J^2$ et $J^3$. En déduire l'expression pour tout entier $n$ de $A^n$ en fonction de $I_3$, $J$ et $n$.
Exercice 975. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ et $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Exprimer $A$ sous la forme $\alpha I_3 + \beta J$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. \\
  2. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n$.
Exercice 976. Soit $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$. \\
  1. Première méthode : \\
    1. Exprimer $A^2$ en fonction de $A$ et $I_3$. \\
    2. Montrer qu'il existe deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ telles que pour tout $n \in \N$, $A^n = x_nA + y_nI_3$. \\
    3. Montrer que $(x_n)$ est récurrence linéaire d'ordre 2. \\
    4. En déduire, pour tout entier $n$, une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$. \\
  2. Deuxième méthode :\\
    1. Montrer que $P(X)=X^2-2X-3$ est un polynôme annulateur de $A$. \\
    2. Calculer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $P(X)$. \\
    3. En déduire une expression de $A^n$ en fonction de $A$ et $I_3$.
Exercice 977. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$. \\
  2. Calculer $D = P^{-1}AP$. \\
  3. Déterminer pour tout entier naturel $n$, $D^n$. \\
  4. Justifier que, $A = PDP^{-1}$ puis, pour tout entier naturel $n$, $A^n = PD^nP^{-1}$. \\
  5. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n \in \N$.

Exercice 978. Matrices nilpotentes

$M$ est une matrice nilpotente s'il existe un entier naturel non nul $k$ tel que $M^k = 0$. Soient $A$ et $B$ deux matrices qui commutent. \\
  1. Montrer que si $A$ est nilpotente, alors $AB$ l'est aussi. \\
  2. Montrer que si $A$ et $B$ sont toutes les deux nilpotentes alors $A+B$ l'est aussi.
Exercice 979. Soit $p$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $A \in \mathcal{M}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que $I-A^p = (I-A)\Sum_{k=0}^{p-1}A^k$. \\
  2. On suppose dorénavant que $A^p = O_n$ et $A^{p-1} \neq 0_n$. \\
    1. Montrer que $A$ n'est pas inversible. \\
    2. En utilisant 1., montrer que $I-A$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $A$.
Exercice 980. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$. \\ Montrer par récurrence que, pour tout $p \in \N$, $AB^p-B^pA= pB^p$. \\ En déduire la valeur de $tr(B^p)$.