Puissances de matrices

Exercice 1118. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer que $A$ peut s'écrire sous la forme $I_3+J$ où $J$ est une matrice à déterminer. \\
  2. Calculer $J^2$ et $J^3$. En déduire l'expression pour tout entier $n$ de $A^n$ en fonction de $I_3$, $J$ et $n$.
Exercice 1119. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ et $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Exprimer $A$ sous la forme $\alpha I_3 + \beta J$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. \\
  2. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n$.
Exercice 1120. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$. \\
  2. Calculer $D = P^{-1}AP$. \\
  3. Déterminer pour tout entier naturel $n$, $D^n$. \\
  4. Justifier que, $A = PDP^{-1}$ puis, pour tout entier naturel $n$, $A^n = PD^nP^{-1}$. \\
  5. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n \in \N$.

Exercice 1121. Matrices nilpotentes

$M$ est une matrice nilpotente s'il existe un entier naturel non nul $k$ tel que $M^k = 0$. Soient $A$ et $B$ deux matrices qui commutent. \\
  1. Montrer que si $A$ est nilpotente, alors $AB$ l'est aussi. \\
  2. Montrer que si $A$ et $B$ sont toutes les deux nilpotentes alors $A+B$ l'est aussi.
Exercice 1122. Soit $p$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $A \in \mathcal{M}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que $I-A^p = (I-A)\Sum_{k=0}^{p-1}A^k$. \\
  2. On suppose dorénavant que $A^p = O_n$ et $A^{p-1} \neq 0_n$. \\
    1. Montrer que $A$ n'est pas inversible. \\
    2. En utilisant 1., montrer que $I-A$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $A$.
Exercice 1123. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$. \\ Montrer par récurrence que, pour tout $p \in \N$, $AB^p-B^pA= pB^p$. \\ En déduire la valeur de $tr(B^p)$.
Exercice 1124. On pose \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}. \]
  1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $A^2 = aA + bI_3$. En déduire que $A$ est inversible et donner son inverse. \\
  2. Démontrer par récurrence l’existence de deux suites de réels $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que : \[ \forall n \in \N, \quad A^n = a_n A + b_n I_3. \] \\
  3. Déterminer une expression explicite de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$, en déduire les coefficients de $A^n$. \\
Exercice 1125. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $I = \diag(1,1,1)$. \\
  1. On pose $N = A - 2I$, calculer $N$, $N^2$ et $N^3$. \\
  2. En déduire à l’aide du binôme de Newton, $A^n$ pour $n \in \N$. \\