Calcul matriciel

Exercice 1103. Soit $M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Montrer que $M$ est inversible et calculer $M^{-1}$.\\ En déduire les solutions du système \[ \begin{cases} x-z = m \\ -2x+3y+4z = 1 \\ y+z = 2m \end{cases} \quad \text{d’inconnue } (x,y,z) \in \R^3. \]
Exercice 1104. Soit $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$. Montrer que $M$ est inversible et calculer $M^{-1}$.\\ En déduire les solutions du système \[ \begin{cases} x+2y+z = 1 \\ x+2y-z = 2m \\ -2x-2y-z = m \end{cases} \quad \text{d’inconnue } (x,y,z) \in \R^3. \]
Exercice 1105. Montrer que si $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ est antisymétrique, alors sa diagonale est nulle.

Exercice 1106. Matrices symétriques, antisymétriques

\\ Soient $A$ et $X$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que la matrice ${}^t\!AA$ est symétrique. \\
  2. Montrer que si $X$ est symétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est symétrique. \\
  3. Montrer que si $X$ est antisymétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est antisymétrique.
Exercice 1107. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices $(M_s, M_a) \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que \[ \begin{cases} M = M_s + M_a \\ M_a \;\; est \;\; symétrique \\ M_s \;\; est \;\; antisymétrique \end{cases} \]
Exercice 1108. Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 &4 \end{pmatrix}$. \\ Calculer $A^2$ et montrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $A^2 = \alpha A + \beta I_3$. En déduire que $A$ est inversible puis déterminer $A^{-1}$.
Exercice 1109. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $A^2$ puis $A^3$. \\
  2. En déduire que $A$ n'est pas inversible. \\
  3. Calculer $(I_3-A)(I_3+A+A^2)$ puis en déduire que $I_3-A$ est inversible et déterminer son inverse. \\
  4. De la même manière, montrer que $I_3+A$ est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 1110. Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. \\ Vérifier que cette matrice est inversible et calculer son inverse.
Exercice 1111. Déterminer toutes les matrices $M$ diagonales d'ordre $3$ telles que \[ M^3+2M^2-M-2I = 0 \]
Exercice 1112. Soit $n$ un entier non nul. Soient $i$, $j$, $k$ et $\ell$ quatre entiers de $\llbracket 1,n \rrbracket$. Calculer $E_{i,j} \times E_{k,\ell}$, où $(E_{i,j})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ désigne les matrices élémentaires.
Exercice 1113. Soit $A,B \in \mathcal{M}_{n}(\R)$. On suppose que $A+B=AB$. \\ Montrer que $AB=BA$.

Exercice 1114. Utilisation de la trace

\\ Existe-t-il $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB-BA=I_n$ ?
Exercice 1115. Soit $n \in \N^*$. On définit la matrice $M$ par $M = (m_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant 2n}$ par \[ \forall (i,j) \in \llbracket 1,2n\rrbracket^{2}, \; m_{i,j} = \begin{cases} 1 \; si \; i \leqslant n \\ 0 \; sinon \end{cases} \]
  1. Expliciter $M$ dans le cas $n=1$ et $n=2$. \\
  2. Calculer $M^2$ puis $M^p$ pour tout entier $p \geqslant 1$. \\
  3. $M$ est-elle inversible ? \\
  4. Dans le cas $n=2$, déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles la matrice $M-\lambda I_4$ n'est pas inversible.

Exercice 1116. Oral ESCP

\\ Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$. On suppose que $A$ est inversible et qu'il existe $q \in \N^*$ tel que $B^q = \mathcal{O}_n$. \\
  1. Soit $\alpha \in \R^*$ et $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ tel que $BY=\alpha Y$. Montrer que $Y = 0$. \\
  2. Montrer que, pour tout $\alpha \in \R^*$, la matrice $M_{\alpha} = -\alpha I_n + A^{-1}BA$ est inversible.
Exercice 1117. \\
  1. Justifier que $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible et calculer son inverse. \\
  2. Calculer $^{t}MM$ et retrouver $M^{-1}$ grâce à ce calcul.
Exercice 1118. Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$. \\
  2. On pose $D = P^{-1}AP$. Montrer que pour tout $n \in \N$, $D^n = P^{-1}A^n P$. \\
  3. Calculer $D$ et en déduire $D^n$ pour tout $n \in \N$. \\
  4. Déterminer finalement $A^n$ pour tout $n \in \N$.
Exercice 1119. Pour $A \in \Mnr$, on note $\sigma(A)$ la somme des termes de $A$. \\ On pose $J = (J_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} = 1$ pour tout $i,j \in \llbracket 1,n \rrbracket$. \\ Montrer que $JAJ = \sigma(A)J$.