Calcul matriciel

Exercice 2168. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.
Exercice 2169. Montrer que $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice 2170. Montrer que si $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ est antisymétrique, alors sa diagonale est nulle.
Exercice 2171. Soient $A$ et $X$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que la matrice ${}^t\!AA$ est symétrique. \\
  2. Montrer que si $X$ est symétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est symétrique. \\
  3. Montrer que si $X$ est antisymétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est antisymétrique.
Exercice 2172. Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.\\ Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec $D$.
Exercice 2173. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices $(M_s, M_a) \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que \[ \begin{cases} M = M_s + M_a \\ M_a \;\; est \;\; symétrique \\ M_s \;\; est \;\; antisymétrique \end{cases} \]
Exercice 2174. Déterminer toutes les matrices $M$ diagonales d'ordre $3$ telles que \[ M^3+2M^2-M-2I = 0 \]
Exercice 2175. Soit $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que\\ \[ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\; AB = BA \iff \exists \lambda \in \mathbb{K},\; A = \lambda I_n. \]
Exercice 2176. Soit $n$ un entier non nul. Soient $i$, $j$, $k$ et $\ell$ quatre entiers de $\llbracket 1,n \rrbracket$. Calculer $E_{i,j} \times E_{k,\ell}$, où $(E_{i,j})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ désigne les matrices élémentaires.

Exercice 2177. Utilisation de la trace

\\ Existe-t-il $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB-BA=I_n$ ?
Exercice 2178. Soit $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$.\\
  1. Calculer, par au moins $3$ méthodes, les puissances $A^n$.\\
  2. Déterminer l’inverse de $A$.\\
  3. Trouver une matrice $B$ telle que $B^2=A$.
Exercice 2179. Soit\\ \[ A=\begin{pmatrix} 1&\cdots&\cdots&1\\ 0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). \]
  1. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Majorer les coefficients de $A^k$.\\
  2. Calculer $A^{-1}$.\\
  3. Calculer $(A^{-1})^k$ pour $k \in \mathbb{N}$.
Exercice 2180. \\
  1. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.\\
  2. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $AC = CA$. Déduire de la première question les implications suivantes :\\
    • $\mathrm{Tr}({}^tA\,A)=0 \Rightarrow A=0$.\\
    • $AB-BA={}^tC\,C \Rightarrow AB=BA$.\\
    • $AB-BA=\lambda I_n \Rightarrow AB=BA$.\\
  3. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables, montrer qu’elles ont la même trace.
Exercice 2181. On considère $(E_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et une matrice $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ à coefficients dans $\mathbb{K}$.\\
  1. Comment décrire les matrices $E_{r,s}A$ et $AE_{r,s}$ ?\\
  2. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour ajouter, à la $i$-ième ligne de $A$, $\lambda$ fois sa $j$-ième ligne (sans modifier les autres) ? Cette transformation est notée $L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j$.\\
  3. Si $i \neq j$, par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour échanger la ligne $i$ et la ligne $j$ ? Cette transformation est notée $L_i \leftrightarrow L_j$.
Exercice 2182. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Résoudre, en $X$, l’équation suivante :\\ \[ X=\mathrm{Tr}(X)A+B. \]
Exercice 2183. Soit $M=aI+bJ \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec\\ \[ J=\begin{pmatrix} 1&\cdots&1\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 1&\cdots&1 \end{pmatrix}. \]
  1. Calculer $M^{-1}$ lorsque $M$ est inversible.\\
  2. A quelle condition a-t-on $M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ?\\
  3. Soit\\ \[ A=\begin{pmatrix} a&b&b\\ b&a&b\\ b&b&a \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{K}). \] Calculer $A^n$ pour $n \geqslant 1$.
Exercice 2184. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que si $M$ est triangulaire supérieure à diagonale nulle alors $M^n=0$ (et en particulier $M$ est nilpotente).