Calculs, puissances, trace

Exercice 4775. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Résoudre, en $X$, l’équation suivante :\\ \[ X=\mathrm{Tr}(X)A+B. \]
Exercice 4776. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.
Exercice 4777. Déterminer toutes les matrices $M$ diagonales d'ordre $3$ telles que \[ M^3+2M^2-M-2I = 0 \]
Exercice 4778. Existe-t-il $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB-BA=I_n$ ?
Exercice 4779. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices $(M_s, M_a) \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que \[ \begin{cases} M = M_s + M_a \\ M_a \;\; est \;\; symétrique \\ M_s \;\; est \;\; antisymétrique \end{cases} \]

Exercice 4780. Matrices symétriques et antisymétriques

\\ Soient $A$ et $X$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que si $A$ est antisymétrique, alors sa diagonale est nulle. \\
  2. Montrer que la matrice ${}^t\!AA$ est symétrique. \\
  3. Montrer que si $X$ est symétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est symétrique. \\
  4. Montrer que si $X$ est antisymétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est antisymétrique.
Exercice 4781. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $D$ la matrice diagonale de coefficients diagonaux $1,2,\hdots,n$. Déterminer toutes les matrices qui commutent avec $D$.
Exercice 4782. Soit $A \in M_n(K)$. On note $\sigma(A)$ la somme des coefficients de $A$.\\ On pose $J$ la matrice de $M_n(K)$ dont tous les coefficients valent $1$.\\ Vérifier que $JAJ = \sigma(A)J$.
Exercice 4783. Pour $i,j,k,\ell \in \{1,\dots,n\}$, on note $E_{i,j}$ et $E_{k,\ell}$ les matrices élémentaires de $M_n(K)$.\\ Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$.
Exercice 4784. Existe-t-il des matrices $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$ vérifiant \[ AB-BA=I_n \;? \]
Exercice 4785. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.
Exercice 4786. On donne $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1} \in \mathbb{K}$, et on considère la matrice suivante, dite matrice circulante :\\ \[ M=\begin{pmatrix} a_0&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_0&\cdots&a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1&a_2&\cdots&a_0 \end{pmatrix}. \] Chaque ligne de $M$ se déduit de la précédente par la même permutation. Donner l'expression du terme général $(m_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ de la matrice $M$
Exercice 4787. \\
  1. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.\\
  2. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $AC = CA$. Déduire de la première question les implications suivantes :\\
    • $\mathrm{Tr}({}^tA\,A)=0 \Rightarrow A=0$.\\
    • $AB-BA={}^tC\,C \Rightarrow AB=BA$.\\
    • $AB-BA=\lambda I_n \Rightarrow AB=BA$.\\
  3. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables, montrer qu’elles ont la même trace.
Exercice 4788. On considère $(E_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et une matrice $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ à coefficients dans $\mathbb{K}$.\\
  1. Comment décrire les matrices $E_{r,s}A$ et $AE_{r,s}$ ?\\
  2. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour ajouter, à la $i$-ième ligne de $A$, $\lambda$ fois sa $j$-ième ligne (sans modifier les autres) ? Cette transformation est notée $L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j$.\\
  3. Si $i \neq j$, par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour échanger la ligne $i$ et la ligne $j$ ? Cette transformation est notée $L_i \leftrightarrow L_j$.
Exercice 4789. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que si $M$ est triangulaire supérieure à diagonale nulle alors $M^n=0$ (et en particulier $M$ est nilpotente).
Exercice 4790. Considérons la matrice \[ K= \begin{pmatrix} 1&3\\ 0&2 \end{pmatrix}. \] Calculer $K^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Exercice 4791. Soit $n \geqslant 1$. Déterminer le centre de $M_n(\mathbb{R})$, c’est à dire l’ensemble des matrices $A \in M_n(\mathbb{R})$ telles que : \[ \forall M \in M_n(\mathbb{R}),\quad AM=MA \]
Exercice 4792.
  1. Soit $n \geqslant 2$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.\\
  2. Soit \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] Calculer $A^n$ pour $n \geqslant 2$.
Exercice 4793. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Déterminer le centre de $M_n(\mathbb{K})$, c'est-à-dire \[ \{A\in M_n(\mathbb{K})\mid \forall M\in M_n(\mathbb{K}),\ AM=MA\}. \]
Exercice 4794. Soit $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$.\\ Résoudre l’équation $X+\mathrm{tr}(X)A=B$, d’inconnue $X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice 4795. Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.\\ Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec $D$.
Exercice 4796. On note \[ D= \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 4 \end{pmatrix} \] Résoudre dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l’équation \[ M^3-2M=D \]
Exercice 4797. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des éléments de $K$ deux à deux distincts et $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$.\\ Déterminer les matrices de $M_n(K)$ commutant avec $D$.
Exercice 4798. Soit $A=(a_{i,j}) \in M_n(K)$.\\ Montrer que \[ \forall B \in M_n(K),\quad AB=BA \] si, et seulement si, il existe $\lambda \in K$ tel que $A=\lambda I_n$.
Exercice 4799. Soit $n \geqslant 2$.\\ Déterminer les matrices de $M_n(K)$ commutant avec toutes les matrices symétriques.
Exercice 4800. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$ des matrices vérifiant \[ AB-BA=A. \] Calculer $\tr(A^p)$ pour $p \in \mathbb{N}^*$.
Exercice 4801. Pour $A$ et $B$ fixées dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, résoudre dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’équation \[ X=\mathrm{tr}(X)A+B. \]
Exercice 4802. Soit $n$ un entier non nul. Soient $i$, $j$, $k$ et $\ell$ quatre entiers de $\llbracket 1,n \rrbracket$. Calculer $E_{i,j} \times E_{k,\ell}$, où $(E_{i,j})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ désigne les matrices élémentaires.
Exercice 4803. Soit $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que\\ \[ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\; AB = BA \iff \exists \lambda \in \mathbb{K},\; A = \lambda I_n. \]
Exercice 4804. Calculer $A^n$ pour $A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\in M_3(\R)$ et $n\in\Z$
Exercice 4805. On dit qu'une matrice à termes réels est positive si et seulement si tous ses termes sont $> 0$.\\
  1. Montrer que la somme de deux matrices positives est positive et que le produit de deux matrices positives est positive.\\
  2. Soient $n \in \N^*$, $A\in M_n(\R)$ positive. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ et $X\in M_{n,1}(\R)$ positive telle que $A^kX=X$. Montrer qu'il existe $Y\in M_{n,1}(\R)$ positive telle que $AY=Y$
Exercice 4806. Pour $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ fixée, démontrer l’équivalence des propriétés suivantes :\\
  1. $\mathrm{tr}(MAB)=\mathrm{tr}(MBA)$ pour tout $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$.\\
  2. Il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $M=kI_n$.
Exercice 4807. Soit la matrice \[ M= \begin{pmatrix} 0 & z & z^2\\ z^{-1} & 0 & z\\ z^{-2} & z^{-1} & 0 \end{pmatrix} \quad \text{avec } z \in \mathbb{C}^* \] Calculer $M^n$ pour tout entier naturel $n$.\\ Le résultat subsiste-t-il pour $n=-1$ ?
Exercice 4808. On considère la matrice \[ U= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
  1. Montrer que $(U,U^2)$ est une famille libre.\\
  2. Trouver $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$ tels que $U^3=aU^2+bU$.\\
  3. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3$, il existe $(\alpha_n,\beta_n)\in\mathbb{R}^2$ tel que \[ U^n=\alpha_nU^2+\beta_nU \]
  4. Exprimer $\alpha_{n+2}$ en fonction de $\alpha_{n+1}$ et $\alpha_n$.\\
  5. En déduire une expression de $\alpha_n$ en fonction de $n$.

Exercice 4809. X ENS

\\ Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Résoudre l’équation \[ X + {}^tX = (\mathrm{Tr}\; X)A. \]
Exercice 4810. Résoudre l'équation $X^2=A$ où \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 16 \end{pmatrix}. \]
Exercice 4811. Soit $T \in M_n(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire supérieure.\\ Montrer que $T$ commute avec sa transposée si, et seulement si, $T$ est diagonale.
Exercice 4812. Soit $n \geqslant 2$.\\ Déterminer les matrices de $M_n(K)$ commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Exercice 4813. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\ Résoudre l’équation \[ X+{}^tX=\tr(X)A \] d’inconnue $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice 4814.
  1. Existe-t-il des matrices $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ telles que $AB-BA=I_p$ ?\\
  2. Que se passe-t-il si l'on remplace $\mathbb{R}$ par un autre corps ?
Exercice 4815. Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(K)$ telles que : \[ \forall X\in \mathcal{M}_n(K),\quad AXB=0. \] Montrer que $A=0$ ou $B=0$.