Partie entière

Exercice 938. \\
  1. Démontrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor x+1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$.\\
  2. Démontrer que pour tout $x \in \R$, pour tout $n \in \Z$, $\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$.
Exercice 939. Soient $x$ et $y$ deux réels. \\
  1. Calculer $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$. \\
  2. Montrer que $\lfloor x+y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  3. Soit $n \in \N^*$, à quelle condition sur $x$ a-t-on $\lfloor nx \rfloor = n \lfloor x \rfloor$ ?
Exercice 940. Soient deux réels $a$ et $b$. Montrer que \[ \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor \leqslant \lfloor a+b \rfloor \leqslant \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor + 1 \]
Exercice 941. Soient $x$,$y$ des réels. Montrer que $\lfloor x \rfloor + \lfloor x+y \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor$.
Exercice 942. \\
  1. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor 2x \rfloor - 2 \lfloor x \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  2. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x +\Frac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor$.
Exercice 943. Soit $x \in \R$ et $n \in \N^*$. Montrer que \[ \left\lfloor \Frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor = \lfloor x\rfloor \]
Exercice 944. Soit $n \in \Z$. \\ Résoudre dans $\R$ l'équation $\lfloor \ln(\sqrt{x}) \rfloor = n$.
Exercice 945. Soit $n \geqslant 1$ un entier. \\
  1. Démontrer que $2n \leqslant 2\sqrt{n(n+1)} < 2n+1$. \\
  2. En déduire la valeur de $\lfloor (\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2 \rfloor$.
Exercice 946. Donner une expression simple de $\left\lfloor (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2 \right\rfloor$.
Exercice 947. Pour $x \in \R$, comparer $\lfloor x \rfloor$ et $\left\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor} \right\rfloor$.
Exercice 948. Soit $x$ un nombre réel. Pour $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor$ et $v_n = \Frac{u_n}{n^2}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $\Frac{n(n+1)}{2}x -n \leqslant u_n \leqslant \Frac{n(n+1)}{2}x$. \\
  2. En déduire la limite de la suite $(v_n)$.
Exercice 949. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\lfloor \sqrt{n^4+2n^3+3n^2+1} \rfloor = n^2+n$. \\
  2. En déduire l'ensemble des entiers $n \in \N^*$ tels que $n^4+2n^3+3n^2+1$ est le carré d'un entier.
Exercice 950. Montrer que la fonction $x \mapsto \Frac{\lfloor x \rfloor}{x}$ est majorée sur $\Rpe$. Est-ce encore vrai sur $\R^*$ ?
Exercice 951. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ est un entier pair. En déduire que la partie entière de $(2+\sqrt{3})^n$ est un entier pair.
Exercice 952. Calculer pour $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n^2} \left\lfloor\Frac{k}{n}\right\rfloor$.
Exercice 953. Calculer pour $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n^2} \lfloor \sqrt{k} \rfloor$.
Exercice 954. Soit $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x) = (-1)^{\lfloor x \rfloor}\parenthese{x-\lfloor x \rfloor - \Frac{1}{2}} \]
  1. Montrer que $\forall x \in \R$, $f(x+2)=f(x)$. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $\forall x \in \R$, $f(x+2n)=f(x)$. \\
  3. Montrer que $f$ est bornée sur $\R$. \\
  4. Etudier $f$ sur $[0;2[$.