Partie entière

Exercice 902. \\
  1. Démontrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor x+1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$.\\
  2. Démontrer que pour tout $x \in \R$, pour tout $n \in \Z$, $\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$.
Exercice 903. Soient $x$ et $y$ deux réels. \\
  1. Calculer $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$. \\
  2. Montrer que $\lfloor x+y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  3. Soit $n \in \N^*$, à quelle condition sur $x$ a-t-on $\lfloor nx \rfloor = n \lfloor x \rfloor$ ?
Exercice 904. Soit $n \geqslant 1$ un entier. \\
  1. Démontrer que $2n \leqslant 2\sqrt{n(n+1)} < 2n+1$. \\
  2. En déduire la valeur de $\lfloor (\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2 \rfloor$.
Exercice 905. Soit $f$ : $x \mapsto x - \lfloor x \rfloor$. Que représente $f(x)$ pour un réel $x$ ?
Exercice 906. Soit $f$ définie par $f(x) = x- \lfloor x+ \Frac{1}{3} \rfloor$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. \\
  2. Si $x \in [0;1]$, déterminer les expressions de $f(x)$ selons les intervalles auxquelles $x$ appartient. \\
  3. Montrer que $f$ est périodique de période $1$. \\
  4. Représenter graphiquement $f$.
Exercice 907. Résoudre dans $\R$ les équations suivantes : \\
  1. $\lfloor 3x-1\rfloor = 7$. \\
  2. $5\lfloor -4x+1\rfloor^2 = 9$. \\
  3. $\lfloor 2x+3\rfloor = \lfloor x+2\rfloor$.
Exercice 908. Soit $x$ un nombre réel. Pour $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor$ et $v_n = \Frac{u_n}{n^2}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $\Frac{n(n+1)}{2}x -n \leqslant u_n \leqslant \Frac{n(n+1)}{2}x$. \\
  2. En déduire la limite de la suite $(v_n)$.
Exercice 909. Soient deux réels $a$ et $b$. Montrer que \[ \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor \leqslant \lfloor a+b \rfloor \leqslant \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor + 1 \]
Exercice 910. Montrer que pour tout $x \in \Rpe$, $1-x < x \left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor \leqlsant 1$.
Exercice 911.
  1. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor 2x \rfloor - 2 \lfloor x \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  2. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x +\Frac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor$.
Exercice 912. Soit $x \in \R$ et $n \in \N^*$. Montrer que \[ \left\lfloor \Frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor = \lfloor x\rfloor \]
Exercice 913. Soit $n \in \Z$. \\ Résoudre dans $\R$ l'équation $\lfloor \ln(\sqrt{x}) \rfloor = n$.
Exercice 914. Donner une expression simple de $\left\lfloor (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2 \right\rfloor$.
Exercice 915. Montrer que la fonction $x \mapsto \Frac{\lfloor x \rfloor}{x}$ est majorée sur $\Rpe$. Est-ce encore vrai sur $\R^*$ ?
Exercice 916. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ est un entier pair. En déduire que la partie entière de $(2+\sqrt{3})^n$ est un entier pair.
Exercice 917. Soient $x$,$y$ des réels. Montrer que $\lfloor x \rfloor + \lfloor x+y \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor$.
Exercice 918. Pour $x \in \R$, comparer $\lfloor x \rfloor$ et $\left\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor} \right\rfloor$.
Exercice 919. Calculer pour $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n^2} \left\lfloor\Frac{k}{n}\right\rfloor$.
Exercice 920. Calculer pour $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n^2} \lfloor \sqrt{k} \rfloor$.
Exercice 921. Soit $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x) = (-1)^{\lfloor x \rfloor}\parenthese{x-\lfloor x \rfloor - \Frac{1}{2}} \]
  1. Montrer que $\forall x \in \R$, $f(x+2)=f(x)$. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $\forall x \in \R$, $f(x+2n)=f(x)$. \\
  3. Montrer que $f$ est bornée sur $\R$. \\
  4. Etudier $f$ sur $[0;2[$.