Partie entière

Exercice 858.
  1. Démontrer que pour tout x∈Rx \in \R, ⌊x+1⌋=⌊x⌋+1\lfloor x+1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1.
  2. Démontrer que pour tout x∈Rx \in \R, pour tout n∈Zn \in \Z, ⌊x+n⌋=⌊x⌋+n\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.
Exercice 859. Soient xx et yy deux réels.
  1. Calculer ⌊x⌋+⌊−x⌋\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor.
  2. Montrer que ⌊x+y⌋−⌊x⌋−⌊y⌋∈{0,1}\lfloor x+y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{0,1\}.
  3. Soit n∈N∗n \in \N^*, à quelle condition sur xx a-t-on ⌊nx⌋=n⌊x⌋\lfloor nx \rfloor = n \lfloor x \rfloor ?
Exercice 860. Soit n⩾1n \geqslant 1 un entier.
  1. Démontrer que 2n⩽2n(n+1)<2n+12n \leqslant 2\sqrt{n(n+1)} < 2n+1.
  2. En déduire la valeur de ⌊(n+n+1)2⌋\lfloor (\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2 \rfloor.
Exercice 861. Soit ff : x↦x−⌊x⌋x \mapsto x - \lfloor x \rfloor. Que représente f(x)f(x) pour un réel xx ?
Exercice 862. Soit ff définie par f(x)=x−⌊x+13⌋f(x) = x- \lfloor x+ \Frac{1}{3} \rfloor.
  1. Déterminer l'ensemble de définition de ff.
  2. Si x∈[0;1]x \in [0;1], déterminer les expressions de f(x)f(x) selons les intervalles auxquelles xx appartient.
  3. Montrer que ff est périodique de période 11.
  4. Représenter graphiquement ff.
Exercice 863. Résoudre dans R\R les équations suivantes :
  1. ⌊3x−1⌋=7\lfloor 3x-1\rfloor = 7.
  2. 5⌊−4x+1⌋2=95\lfloor -4x+1\rfloor^2 = 9.
  3. ⌊2x+3⌋=⌊x+2⌋\lfloor 2x+3\rfloor = \lfloor x+2\rfloor.
Exercice 864. Soit xx un nombre réel. Pour n⩾1n \geqslant 1, on pose un=∑k=1n⌊kx⌋u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor et vn=unn2v_n = \Frac{u_n}{n^2}.
  1. Montrer que pour tout n⩾1n \geqslant 1, n(n+1)2x−n⩽un⩽n(n+1)2x\Frac{n(n+1)}{2}x -n \leqslant u_n \leqslant \Frac{n(n+1)}{2}x.
  2. En déduire la limite de la suite (vn)(v_n).
Exercice 865. Soient deux réels aa et bb. Montrer que ⌊a⌋+⌊b⌋⩽⌊a+b⌋⩽⌊a⌋+⌊b⌋+1 \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor \leqslant \lfloor a+b \rfloor \leqslant \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor + 1
Exercice 866. Montrer que pour tout x∈]0;+∞[x \in \Rpe, 1−x<x⌊1x⌋\leqlsant11-x < x \left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor \leqlsant 1.
Exercice 867.
  1. Montrer que pour tout x∈Rx \in \R, ⌊2x⌋−2⌊x⌋∈{0,1}\lfloor 2x \rfloor - 2 \lfloor x \rfloor \in \{0,1\}.
  2. Montrer que pour tout x∈Rx \in \R, ⌊x⌋+⌊x+12⌋=⌊2x⌋\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x +\Frac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor.
Exercice 868. Soit x∈Rx \in \R et n∈N∗n \in \N^*. Montrer que ⌊⌊nx⌋n⌋=⌊x⌋ \left\lfloor \Frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor = \lfloor x\rfloor
Exercice 869. Calculer ∑k=12010⌊k⌋ \sum_{k=1}^{2010} \lfloor \sqrt{k} \rfloor
Exercice 870. Soit n∈Zn \in \Z. Résoudre dans R\R l'équation ⌊ln⁡(x)⌋=n\lfloor \ln(\sqrt{x}) \rfloor = n.
Exercice 871. Donner une expression simple de ⌊(n+1+n)2⌋\left\lfloor (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2 \right\rfloor.
Exercice 872. Montrer que la fonction x↦⌊x⌋xx \mapsto \Frac{\lfloor x \rfloor}{x} est majorée sur ]0;+∞[\Rpe. Est-ce encore vrai sur R∗\R^* ?
Exercice 873. Montrer que pour tout n∈N∗n \in \N^*, (2+3)n+(2−3)n(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n est un entier pair. En déduire que la partie entière de (2+3)n(2+\sqrt{3})^n est un entier pair.
Exercice 874. Soient xx,yy des réels. Montrer que ⌊x⌋+⌊x+y⌋+⌊y⌋⩽⌊2x⌋+⌊2y⌋\lfloor x \rfloor + \lfloor x+y \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor.
Exercice 875. Pour x∈Rx \in \R, comparer ⌊x⌋\lfloor x \rfloor et ⌊⌊x⌋⌋\left\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor} \right\rfloor.
Exercice 876. Calculer pour n∈N∗n \in \N^* Sn=∑k=1n2⌊kn⌋ S_n = \sum_{k=1}^{n^2} \left\lfloor\Frac{k}{n}\right\rfloor
Exercice 877. Calculer pour n∈N∗n \in \N^* Sn=∑k=1n2⌊k⌋ S_n = \sum_{k=1}^{n^2} \lfloor \sqrt{k} \rfloor
Exercice 878. Soit ff définie sur R\R par f(x)=(−1)⌊x⌋(x−⌊x⌋−12) f(x) = (-1)^{\lfloor x \rfloor}\parenthese{x-\lfloor x \rfloor - \Frac{1}{2}}
  1. Montrer que ∀x∈R\forall x \in \R, f(x+2)=f(x)f(x+2)=f(x).
  2. Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \N, ∀x∈R\forall x \in \R, f(x+2n)=f(x)f(x+2n)=f(x).
  3. Montrer que ff est bornée sur R\R.
  4. Etudier ff sur [0;2[[0;2[.