Valeur absolue

Exercice 926. Résoudre l'équation sur $\R$ : $\abs{x-4} = 3$.
Exercice 927. Résoudre l'équation $2+\abs{x}-\abs{x-1}-\abs{x+1} = 0$ d'inconnue $x \in \R$.

Exercice 928. Inégalité triangulaire

Démontrer l'inégalité triangulaire : \\ Pour tous réels $x,y$ on a \[\abs{x+y} \leqslant \abs{x}+\abs{y}\]

Exercice 929. Inégalité triangulaire n°2

Démontrer que pour tout $x,y \in \R$, \[\abs{\abs{x}-\abs{y}} \leqslant \abs{x-y}\]
Exercice 930. Montrer que pour tout $x,y \in \R$, on a $\abs{x}+\abs{y} \leqslant \abs{x+y} + \abs{x-y}$.
Exercice 931. Soient $(x,y) \in \R^2$, démontrer que \\
  1. $\max(x,y)=\Frac{1}{2}(x+y+\abs{x-y})$. \\
  2. $\min(x,y) = \Frac{1}{2}(x+y-\abs{x-y})$.
Exercice 932. Montrer que pour tous réels $x,y$ positifs, $\abs{\sqrt{2+x}-\sqrt{2+y}} \leqslant \Frac{\abs{x-y}}{2\sqrt{2}}$.
Exercice 933. Montrer que pour tout réels $x,y$, \[ 1 + \abs{xy-1} \leqslant (1+\abs{x-1})(1+\abs{y-1}) \]
Exercice 934. Montrer que pour tout $x,y \in \R$, \[ \Frac{\abs{x+y}}{1+\abs{x+y}} \leqslant \Frac{\abs{x}}{1+\abs{x}} + \Frac{\abs{y}}{1+\abs{y}} \]
Exercice 935. Montrer que pour tout réels non nuls $x$ et $y$, \[ \max(\abs{x},\abs{y}) \abs{\Frac{x}{\abs{x}}-\Frac{y}{\abs{y}}} \leqslant 2 \abs{x-y} \]
Exercice 936. Montrer que pour tout réels $x$ et $y$ strictement positifs, on a $\abs{\sqrt{y}-\sqrt{x}} \leqslant \sqrt{\abs{y-x}}$.
Exercice 937. \\
  1. Montrer que pour tout réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\sqrt{a+b} \leqslant \sqrt{a}+\sqrt{b}$. \\ Dans quel cas a-t-on égalité ? \\
  2. En déduire que pour tout $x,y \in \R$, $\abs{\sqrt{\abs{x}}-\sqrt{\abs{y}}} \leqslant \sqrt{\abs{x-y}}$.