Valeur absolue

Exercice 896. Soient $(x,y) \in \R^2$, démontrer que \\
  1. $\max(x,y)=\Frac{1}{2}(x+y+\abs{x-y})$. \\
  2. $\min(x,y) = \Frac{1}{2}(x+y-\abs{x-y})$.

Exercice 897. Inégalité triangulaire

Démontrer l'inégalité triangulaire : \\ Pour tous réels $x,y$ on a \[\abs{x+y} \leqslant \abs{x}+\abs{y}\]

Exercice 898. Inégalité triangulaire n°2

Démontrer que pour tout $x,y \in \R$, \[\abs{\abs{x}-\abs{y}} \leqslant \abs{x-y}\]
Exercice 899. Montrer que pour tout réels $x,y$, \[ 1 + \abs{xy-1} \leqslant (1+\abs{x-1})(1+\abs{y-1}) \]
Exercice 900. Montrer que pour tout $x,y \in \R$, \[ \Frac{\abs{x+y}}{1+\abs{x+y}} \leqslant \Frac{\abs{x}}{1+\abs{x}} + \Frac{\abs{y}}{1+\abs{y}} \]
Exercice 901. Montrer que pour tout réels non nuls $x$ et $y$, \[ \max(\abs{x},\abs{y}) \abs{\Frac{x}{\abs{x}}-\Frac{y}{\abs{y}}} \leqslant 2 \abs{x-y} \]