Applications réelles

Exercice 1019. Les fonctions suivantes sont-elles surjectives ? \\ \[ f_1 : \begin{cases} &\R \to \R \\ &x \mapsto x^2 \end{cases} \quad\quad f_2 : \begin{cases} &\R \to \R^+ \\ &x \mapsto x^2 \end{cases} \quad\quad h : \begin{cases} &\C \ \{i\} \to \C \\ &z \mapsto \Frac{z+i}{z-i} \end{cases} \]

Exercice 1020. Soit $f : \N \to \N$ définie par $f(n) = 2n+1$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ?

Exercice 1021. Soit $f : \R \to ]-1,1[$ telle que $f(x)=\Frac{x}{1+\abs{x}}$ et $g : ]-1,1[ \to \R$ telle que $g(x) = \Frac{x}{1-\abs{x}}$. \\ Montrer que $f$ et $g$ sont des bijections réciproques. \\ On vérifiera que $f$ et $g$ sont bien définies.

Exercice 1022. Soient $f$ et $g$ les applications de $\N$ dans $\N$ définies par $f(n)=2n$ et $g(n) = \begin{cases} \Frac{n}{2} \;\; si \;\; n \;\; est \;\; pair \\ 0 \;\; si \;\; n \;\; est \;\; impair \end{cases}$. \\ Déterminer $f\circ g$ et $g \circ f$. Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles injectives ? Surjectives ? Bijectives ?

Exercice 1023. Soit $f : \N \to \N$ définie par $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} \;\; si \;\; n \;\; est \;\; pair \\ n \;\; si \;\; n \;\; est \;\; impair \end{cases}$. \\ L'application $f$ est-elle injective ? Surjective ?

Exercice 1024. Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives, bijectives : \\

• $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = x^2+1$. \\
• $g : \;\Rpe \to \R$ définie par $g(x) = e^{3+\ln{x}}$. \\
• $h : \R \backslash\{-1\} \to \R^{*}$ définie par $h(x) = \Frac{1}{x^3+1}$.

Exercice 1025. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f$ : $x \mapsto \ln(x^2+1)$. \\ Déterminer l'image directe par $f$ de $[-1;1]$. Déterminer l'image réciproque par $f$ de $\R^+$ et de $[1,\ln(10)]$.

Exercice 1026. Soient $f : x \mapsto \ln(1+e^x)$ et $g : x \mapsto -x$ définies sur $\R$ à valeur dans $\R$. \\ Montrer que $f-f\circ g = id_{\R}$.

Exercice 1027. Fonction caractéristique

Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. On appelle fonction caractéristique de $A$ l'application $f$ de $E$ dans l'ensemble $\{0,1\}$ telle que \[ f(x) = \begin{cases} 1 \;\; si \;\; x \in A \\ 0 \;\; si \;\; x \notin A \end{cases} \] Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$, $f$ et $g$ leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on déterminera : \\

1. $1-f$ ; \\
2. $fg$ ; \\
3. $f+g-fg$.