Applications réelles

Exercice 953. Soit $f : \N \to \N$ définie par $f(n) = 2n+1$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 954. Soient $f$ et $g$ les applications de $\N$ dans $\N$ définies par $f(n)=2n$ et $g(n) = \begin{cases} \Frac{n}{2} \;\; si \;\; n \;\; est \;\; pair \\ 0 \;\; si \;\; n \;\; est \;\; impair \end{cases}$. \\ Déterminer $f\circ g$ et $g \circ f$. Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles injectives ? Surjectives ? Bijectives ?
Exercice 955. Soit $f : \N \to \N$ définie par $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} \;\; si \;\; n \;\; est \;\; pair \\ n \;\; si \;\; n \;\; est \;\; impair \end{cases}$. \\ L'application $f$ est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 956. Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives, bijectives : \\
  • $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = x^2+1$. \\
  • $g : \;\Rpe \to \R$ définie par $g(x) = e^{3+\ln{x}}$. \\
  • $h : \R \backslash\{-1\} \to \R^{*}$ définie par $h(x) = \Frac{1}{x^3+1}$.
Exercice 957. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f$ : $x \mapsto \ln(x^2+1)$. \\ Déterminer l'image directe par $f$ de $[-1;1]$. Déterminer l'image réciproque par $f$ de $\R^+$ et de $[1,\ln(10)]$.
Exercice 958. Soient $f : x \mapsto \ln(1+e^x)$ et $g : x \mapsto -x$ définies sur $\R$ à valeur dans $\R$. \\ Montrer que $f-f\circ g = id_{\R}$.

Exercice 959. Fonction caractéristique

Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. On appelle fonction caractéristique de $A$ l'application $f$ de $E$ dans l'ensemble $\{0,1\}$ telle que \[ f(x) = \begin{cases} 1 \;\; si \;\; x \in A \\ 0 \;\; si \;\; x \notin A \end{cases} \] Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$, $f$ et $g$ leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on déterminera : \\
  1. $1-f$ ; \\
  2. $fg$ ; \\
  3. $f+g-fg$.
Exercice 960. Soit $f : F \to G$ et $g : G \to E$. \\
  1. Montrer que $g \circ f$ injective $\implies f$ injective. \\
  2. Montrer que $g \circ f$ surjective $\implies g$ surjective.
Exercice 961. Soit $f : X \to Y$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalents : \\
  1. $f$ est injective. \\
  2. Pour toutes parties $A$, $B$ et $X$, on a $f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)$.