Applications réelles

Exercice 1097. Montrer que $f : \R^2 \to \R^2$ définie par $\forall (x,y) \in \R^2$, $f(x,y) = (x,x-y)$ est bijective et déterminer son application réciproque.
Exercice 1098. Soit $f : \R^2 \to \R$ définie par $f(x,y) = (x^2+y^2,2xy)$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 1099. Soit $f : \R \to \R$ une application croissante telle que $f \circ f = Id_{\R}$. \\ Montrer que $f = Id_{\R}$.
Exercice 1100. Les fonctions suivantes sont-elles surjectives ? \\ \[ f_1 : \begin{cases} &\R \to \R \\ &x \mapsto x^2 \end{cases} \quad\quad f_2 : \begin{cases} &\R \to \R^+ \\ &x \mapsto x^2 \end{cases} \quad\quad h : \begin{cases} &\C \ \{i\} \to \C \\ &z \mapsto \Frac{z+i}{z-i} \end{cases} \]
Exercice 1101. Soit $f : \N \to \N$ définie par $f(n) = 2n+1$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 1102. Soit $f : \N \to \N$ et $g : \N \to \N$ les applications définies par \[ \forall n \in \N, \;\; f(n) =n^2 \quad et \quad g(n) = \begin{cases} \sqrt{n} \;\; si \;\; \exist k \in \N, \;\; n = k^2 \\ 0 \;\; sinon \end{cases} \]
  1. Montrer que $f$ est injective et n'est pas surjective. \\
  2. Montrer que $g$ est surjective et n'est pas injective. \\
  3. Calculer $g \circ f$ et $f \circ g$.
Exercice 1103. Soit $f : \R \to ]-1,1[$ telle que $f(x)=\Frac{x}{1+\abs{x}}$ et $g : ]-1,1[ \to \R$ telle que $g(x) = \Frac{x}{1-\abs{x}}$. \\ Montrer que $f$ et $g$ sont des bijections réciproques. \\ On vérifiera que $f$ et $g$ sont bien définies.
Exercice 1104. Soit $f : \N \to \N$ définie par \[ \begin{cases} f(n) = n \quad si \; n \; pair \\ \\ f(n) = \Frac{n+1}{2} \quad si \; n \;impair \end{cases} \] $f$ est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 1105. Soit $f : \N \to \N$ une application injective telle que pour tout $n \in \N$, $f(n) \leqslant n$. \\ Montrer que $\forall n \in \N$, $f(n)=n$.