Applications réelles

Exercice 881. Soit $f : \R \to \R$, $x \mapsto x^2$. \\
  1. Déterminer $f(]-1,2])$. \\
  2. Déterminer $f^{-1}([-1,4])$.
Exercice 882. Soit $f$ définie sur $\R \backslash \{1\}$ par $f(x) = \Frac{x+2}{x-1}$. \\ Montrer que $f$ est bijective de $\R \backslash \{1\}$ vers un ensemble a précsier, et donner $f^{-1}$.
Exercice 883. Montrer que $f : \R^2 \to \R^2$ définie par $\forall (x,y) \in \R^2$, $f(x,y) = (x,x-y)$ est bijective et déterminer son application réciproque.
Exercice 884. Soit $f : \R^2 \to \R$ définie par $f(x,y) = (x^2+y^2,2xy)$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 885. Pour chaque fonction, dire si elle est injective, surjective, bijective et donner $f^{-1}$ le cas échéant. \\
  1. $f : \R \to \R$, $x \mapsto x^2$. \\
  2. $f : \N \to \N$, $n \mapsto n+1$. \\
  3. $f : \Z \to \Z$, $k \mapsto k+1$. \\
  4. $f : \N^* \to \Z$ $n \mapsto \begin{cases} \frac{n}{2} \quad si \; n \; pair \\ \frac{-n+1}{2} \quad si \; n \; impair \end{cases}$.
Exercice 886. Soit $f : \R \to \R$ une application croissante telle que $f \circ f = Id_{\R}$. \\ Montrer que $f = Id_{\R}$.
Exercice 887. Les fonctions suivantes sont-elles surjectives ? \\ \[ f_1 : \begin{cases} &\R \to \R \\ &x \mapsto x^2 \end{cases} \quad\quad f_2 : \begin{cases} &\R \to \R^+ \\ &x \mapsto x^2 \end{cases} \quad\quad h : \begin{cases} &\C \ \{i\} \to \C \\ &z \mapsto \Frac{z+i}{z-i} \end{cases} \]
Exercice 888. Soit $f : \N \to \N$ définie par $f(n) = 2n+1$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 889. Soit $f : \N \to \N$ définie par \[ \begin{cases} f(n) = n \quad si \; n \; pair \\ \\ f(n) = \Frac{n+1}{2} \quad si \; n \;impair \end{cases} \] $f$ est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 890. Soit $f : \N \to \N$ et $g : \N \to \N$ les applications définies par \[ \forall n \in \N, \;\; f(n) =n^2 \quad et \quad g(n) = \begin{cases} \sqrt{n} \;\; si \;\; \exist k \in \N, \;\; n = k^2 \\ 0 \;\; sinon \end{cases} \]
  1. Montrer que $f$ est injective et n'est pas surjective. \\
  2. Montrer que $g$ est surjective et n'est pas injective. \\
  3. Calculer $g \circ f$ et $f \circ g$.
Exercice 891. Soient $f : \N \to \N$ et $g : \N \to \N$ les applications définies par \[ \forall n \in \N, \quad f(n) = 2n \quad et \quad g(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} \quad si \;\; n \;\; est \;\; pair \\ \frac{n-1}{2} \quad si \;\; n \;\; est \;\; impair \end{cases} \]
  1. Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles bijectives ? \\
  2. Déterminer $f \circ g$ et $g \circ f$. Sont-elles bijectives ?
Exercice 892. Soit $f : \N \to \N$ une application injective telle que pour tout $n \in \N$, $f(n) \leqslant n$. \\ Montrer que $\forall n \in \N$, $f(n)=n$.
Exercice 893. Soit $f : \R \to ]-1,1[$ telle que $f(x)=\Frac{x}{1+\abs{x}}$ et $g : ]-1,1[ \to \R$ telle que $g(x) = \Frac{x}{1-\abs{x}}$. \\ Montrer que $f$ et $g$ sont des bijections réciproques. \\ On vérifiera que $f$ et $g$ sont bien définies.
Exercice 894. \\
  1. Soit $f : \R^2 \to \R^2$, $(x,y) \mapsto (x-y,x+y)$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? \\
  2. Soit $g : \Q^2 \to \R$, $(x,y) \mapsto x+y\sqrt{2}$. \\ $g$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
Exercice 895. Soit $f : \R^2 \to \R^2$ définie par $f(x,y) = (x,xy-y^3)$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
Exercice 896. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x)=\Frac{e^x-1}{e^x+1}. \] \\
  1. Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ sur un intervalle $I$ à déterminer.\\
  2. Déterminer la réciproque de $f$.
Exercice 897. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x)=\Frac{1-x^2}{1+x^2}. \] \\
  1. Montrer que $f$ est une bijection de $\R^+$ sur un intervalle $I$ à déterminer.\\
  2. Déterminer la réciproque de $f$.
Exercice 898. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x)=\Frac{x}{1+|x|}. \] \\
  1. Montrer que $f$ est une bijection de $\R^+$ sur un intervalle $I$ à déterminer.\\
  2. Déterminer la réciproque de $f$.