Applications

1. Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective. \\
2. Si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g \circ f$ est surjective. \\
3. Si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective (mais pas $g$ forcément). \\
4. Si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective (mais pas $f$ forcément).

1. Montrer que, pour toutes parties $A$ et $B$ de $F$, on a $f^{-1}(A\cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$. \\
2. 1. Montrer que, pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$, on a $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$. \\
   2. On suppose que $f$ est injective. Montrer alors que $f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)$.

1. Montrer que si $g \circ f$ est injective et $f$ surjective, alors $g$ est injective. \\
2. Montrer que si $g \circ f$ est surjective et $g$ injective, alors $f$ est surjective.

Exercice 950. Ensembles dénombrables

1. Montrer que $\N^*$ et $\Z$ sont dénombrables. \\
2. 1. Montrer que $\N^2$ et $\Z \times \N^*$ sont en bijection. \\
   2. Montrer que l'application $(j,k) \in \N^2 \;:\; \mapsto 2^j(2k+1)$ est une bijection de $\N^2$ dans $\N^*$. \\
   3. En déduire que $\N^2$ et $\Z \times \N^*$ sont dénombrables. \\
3. Soient $A$ et $B$ deux ensembles tels que $B$ est dénombrable. On suppose qu'il existe une injection de $A$ dans $B$. Montrer que $A$ est dénombrable. \\
4. Construire une injection de $\Q$ dans une partie infinie de $\Z \times \N^*$. Déduire de la question précédente que $\Q$ est dénombrable.

1. Si $f$ est bijective alors $f^{-1}$ est bijective et $(f^{-1})^{-1} = f$. \\
2. Si $f$ et $g$ sont bijectives alors $g \circ f$ est bijective et $(g \circ f)^{—1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.