Applications

Exercice 1085. Soit $f : \R \to \R$ telle que $f \circ f$ est croissante et $f \circ f \circ f$ est strictement décroissante. \\ Montrer que $f$ est strictement décroissante.
Exercice 1086. Soit $f : E \to E$ telle que $f \circ f \circ f = Id_E$. \\ Montrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 1087. Soit $E$ et $F$ deux ensembles. Soit $f : E \to F$ et $g : F \to E$ deux applications. \\ On suppose que $f \circ g$ et $g \circ f$ sont bijectives. \\ Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
Exercice 1088. Soit $f : E \to F$. \\ Montrer que $f$ surjective $\iff$ $f(E)=F$.
Exercice 1089. Soient $E$, $F$ et $G$ trois ensembles, et $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications. Montrer que : \\
  1. Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective. \\
  2. Si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g \circ f$ est surjective. \\
  3. Si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective (mais pas $g$ forcément). \\
  4. Si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective (mais pas $f$ forcément).
Exercice 1090. Soient $E$ et $F$ deux ensembles, $f : E \to F$ et $g : F \to E$ deux applications telles que $f \circ g \circ f$ est bijective. Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
Exercice 1091. Soit $f : E\to E$ telle qu'il existe un entier $n \geqslant 2$ tel que $f^{n} = f$. \[ f^{n} = \underbrace{f \circ f \circ \hdots \circ f}_{ n \; fois} \] Montrer que $f$ est injective $\iff$ $f$ est surjective.
Exercice 1092. Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$. \\
  1. Montrer que si $g \circ f$ est injective et $f$ surjective, alors $g$ est injective. \\
  2. Montrer que si $g \circ f$ est surjective et $g$ injective, alors $f$ est surjective.
Exercice 1093. Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$. \\ Montrer que : \\
  1. Si $f$ est bijective alors $f^{-1}$ est bijective et $(f^{-1})^{-1} = f$. \\
  2. Si $f$ et $g$ sont bijectives alors $g \circ f$ est bijective et $(g \circ f)^{—1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.
Exercice 1094. Soit $f : E \to F$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalents : \\
  1. $f$ est injective. \\
  2. Pour toutes parties $A$, $B$ $\in \mathcal{P}(E)$, on a $f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)$.

Exercice 1095. Ensembles dénombrables

On dit que $A$ est dénombrable s'il est en bijection avec une partie de $\N$. \\
  1. Montrer que $\N^*$ et $\Z$ sont dénombrables. \\
    1. Montrer que $\N^2$ et $\Z \times \N^*$ sont en bijection. \\
    2. Montrer que l'application $(j,k) \in \N^2 \;:\; \mapsto 2^j(2k+1)$ est une bijection de $\N^2$ dans $\N^*$. \\
    3. En déduire que $\N^2$ et $\Z \times \N^*$ sont dénombrables. \\
  3. Soient $A$ et $B$ deux ensembles tels que $B$ est dénombrable. On suppose qu'il existe une injection de $A$ dans $B$. Montrer que $A$ est dénombrable. \\
  4. Construire une injection de $\Q$ dans une partie infinie de $\Z \times \N^*$. Déduire de la question précédente que $\Q$ est dénombrable.
Exercice 1096. Soit $A$ et $B$ des parties de $E$ et $f$ une application de $E$ dans $F$. \\
  1. Montrer que $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$. \\
  2. Montrer que $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$.