Applications, Images directes, réciproques

Exercice 861. Soit $f : \R \to \R$ telle que $f \circ f$ est croissante et $f \circ f \circ f$ est strictement décroissante. \\ Montrer que $f$ est strictement décroissante.
Exercice 862. Soit $f : E \to E$ telle que $f \circ f \circ f = Id_E$. \\ Montrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 863. Soit $E$ un ensemble et $f : E \to E$ telle que $f \circ f \circ f = f$. \\
  1. Montrer que si $f$ est injective, alors $f \circ f = Id_{E}$. \\
  2. Montrer que si $f$ est surjective, alors $f \circ f = Id_{E}$.
Exercice 864. Soit $E$ un ensemble et $f:E \to E$ une application telle que $f \circ f \circ f = f$.\\ Montrer que $f$ est injective si et seulement si $f$ est surjective.
Exercice 865. Soit $f : E \to E$ une application telle que $f \circ f = f$. \\ Montrer que $f$ est injective ou surjective $\iff$ $f = Id_{E}$.
Exercice 866. Soit $E$ et $F$ deux ensembles. Soit $f : E \to F$ et $g : F \to E$ deux applications. \\ On suppose que $f \circ g$ et $g \circ f$ sont bijectives. \\ Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
Exercice 867. Soient $E$, $F$ et $G$ trois ensembles, et $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications. Montrer que : \\
  1. Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective. \\
  2. Si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g \circ f$ est surjective. \\
  3. Si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective (mais pas $g$ forcément). \\
  4. Si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective (mais pas $f$ forcément).
Exercice 868. Soient $f : E \to F$, $g : F \to G$ et $h : G \to E$. \\ Montrer que si $h \circ g \circ f$ est injective et $g \circ f \circ h$ et $f \circ h \circ g$ sont surjectives, alors $f$, $g$ et $h$ sont bijecties.
Exercice 869. Soient $f : E \to F$ et $g : F \to E$ telles que $f \circ g \circ f$ est bijective. Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
Exercice 870. \\ Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$. \\
  1. Montrer que si $g \circ f$ est injective et $f$ surjective, alors $g$ est injective. \\
  2. Montrer que si $g \circ f$ est surjective et $g$ injective, alors $f$ est surjective.
Exercice 871. Soit $f:E \to F$, montrer que $f$ est surjective si et seulement si pour tout ensemble $G$ et toute fonction $h,g:F \to G$, \[ g \circ f = h \circ f \implies g = h. \] \\ Indication : Pour le sens réciproque on pourra considérer $G=\{0,1\}$.
Exercice 872. Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$. \\ Montrer que : \\
  1. Si $f$ est bijective alors $f^{-1}$ est bijective et $(f^{-1})^{-1} = f$. \\
  2. Si $f$ et $g$ sont bijectives alors $g \circ f$ est bijective et $(g \circ f)^{—1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.
Exercice 873. Soit $f : E\to E$ telle qu'il existe un entier $n \geqslant 2$ tel que $f^{n} = f$. \[ f^{n} = \underbrace{f \circ f \circ \hdots \circ f}_{ n \; fois} \] Montrer que $f$ est injective $\iff$ $f$ est surjective.
Exercice 874. Soit $f : E \to F$. \\ Montrer que $f$ surjective $\iff$ $f(E)=F$.

Exercice 875. Images directes, réciproques

\\ Soit $A$ et $B$ des parties de $E$ et $f$ une application de $E$ dans $F$. \\
  1. Montrer que $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$. \\
  2. Montrer que $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$.

Exercice 876. Image directe et injectivité

\\ Soit $f : E \to F$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalents : \\
  1. $f$ est injective. \\
  2. Pour toutes parties $A$, $B$ $\in \mathcal{P}(E)$, on a $f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)$.

Exercice 877. Images réciproques

\\ Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f : E \to F$ une application. \\
  1. Montrer que pour tout $A,B \in \mathcal{P}(F)$, $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$. \\
  2. Pour tout $A \in \mathcal{P}(E)$, $f^{-1}(F \backslash A) = E \backslash f^{-1}(A)$.

Exercice 878. Images directes, réciproques

\\ Soit $f$ une application de $E$ dans $F$. \\
  1. Montrer que $\forall A \subset E$, $A \subset f^{-1}(f(A))$. \\
  2. Montrer que $\forall B \subset F$, $f(f^{-1}(B)) \subset B$. \\
  3. Montrer que $f$ est injective $\iff$ $\forall A \subset E$, $A = f^{-1}(f(A))$. \\
  4. Montrer que $f$ est surjective $\iff$ $\forall B \subset F$, $f(f^{-1}(B)) = B$.
Exercice 879. Soit \[ \begin{array}{rcl} f : \mathcal{P}(E) &\to& \mathcal{P}(A)\times\mathcal{P}(B) \\ X &\mapsto& (X\cap A,\; X\cap B) \end{array} \]
  1. Montrer que $f$ est injective $\iff$ $A \cup B = E$. \\
  2. Montrer que $f$ est surjective $\iff$ $A \cap B = \varnothing$. \\
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit bijective. \\ Déterminer alors son application réciproque $f^{-1}$.
Exercice 880. Soit $f : E \to F$. \\
  1. Montrer que $\forall (A,B) \in \mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(F)$, $f\parenthese{A \cap f^{-1}(B)} = f(A) \cap B$. \\
  2. Montrer que $f$ est bijective si et seulement si $\forall A \in \mathcal{P}(E)$, $f(\bar{A}) = \bar{f(A)}$.