Familles

Exercice 944. Expliciter les trois ensembles suivants : \\
  • $\displaystyle \bigcap_{ n \in \N^*} \into{-\Frac{1}{n}}{\Frac{1}{n}}$. \\
  • $\displaystyle \bigcap_{p=1}^{+\infty} \left[-\Frac{1}{p},\Frac{2p+1}{p}\right[$. \\
  • $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{+\infty}\parenthese{\left[-k,\Frac{1}{k}\right[ \cup \left]\Frac{1}{k},k\right]}$.
Exercice 945. On considère une suite d'ensembles $(A_k)_{k \in \N^*}$. \\
  1. Montrer par récurrence la formule de Morgan généralisée : \[ \forall n \in \N^*, \bar{\bigcap_{k=1}^{n}A_k} = \bigcup_{k=1}^{n} \bar{A_k} \]
  2. En déduire, sans récurrence, la formule de Morgan généralisée : \[ \forall n \in \N^*, \; \bar{\bigcup_{k=1}^{n} A_k} = \bigcap_{k=1}^{n} \bar{A_k} \]