Ensembles

Exercice 937. Montrer que $A \cup B = A\cap B$ $\iff$ $A = B$.

Exercice 938. Soient $A$, $B$ et $C$ trois ensembles. \\ Montrer que $A \cup B = A \cap C \iff B \subset A \subset C$.

Exercice 939. Lois de Morgan et distributivité

Soit $E$ un ensemble. \\ Soient $A$, $B$ et $C$ des sous-ensembles de $E$. \\ Montrer par double inclusion, que : \\

• $\bar{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$. \\
• $\bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$. \\
• $A \cup(B\cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$. \\
• $A \cap (B \cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$.

Exercice 940. Soit $E$ un ensemble. \\ Soient $A$, $B$, $D$ des parties non vides de $E$. Montrer que : \\

1. $(A \cup B = B \cap D) \implies (A \subset B \subset D)$. \\
2. $(\bar{A} \subset B) \iff (A\cup B= E)$. \\
3. $A \backslash B = \bar{B} \backslash \bar{A}$. \\
4. $(A \cup B = A \cup D$ et $A \cap B = A \cap D) \iff B = D$. \\
5. $((A\times B)\cup (B \times A) = D^2) \iff (A = B = D)$.

Exercice 941. Différence symétrique

Soit $E$ un ensemble. Pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$, on note $A \Delta B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)$ la différence symétrique de $A$ et $B$. \\

1. Déterminer $A \Delta A$ et $A \Delta \varnothing$. \\
2. Montrer que $A \Delta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)$. \\
3. Montrer que $\bar{A \Delta B} = (A \cap B)\cup(\bar{A\cup B})$. \\
4. Soit $D$ une partie de $A$. Montrer que $A \Delta B = A \Delta D$ si et seulement si $B = D$.

Exercice 942. On considère deux ensembles $A$ et $B$ et on suppose qu'il existe un troisième ensemble $X$ tels que : \[ A \cap X = B \cap X \; \; et \; \; A \cup X = B \cup X \] Montrer que $A = B$.

Exercice 943. Soient $A$, $B$ et $C$ des parties de $E$. \\ Montrer que $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$.