Ensembles

Exercice 713. Les notations $\varnothing$, $\{ \varnothing \}$, $\{ \{ \varnothing \} \}$ désignent-elles le même ensemble ?
Exercice 714. Soient $A$ et $B$ deux ensembles. \\ Montrer que $A \cup B = A\cap B$ $\iff$ $A = B$.
Exercice 715. Montrer que $A \cup B = \bar{A} \cap B \iff A = \varnothing$.
Exercice 716. Soient $A$, $B$ et $C$ trois ensembles. \\ Montrer que $A \cup B = A \cap C \iff B \subset A \subset C$.
Exercice 717. Soient $A$,$B$ et $C$ trois ensembles tels que $A \cap B = \A \cap C$. \\ Montrer que $A \cap \bar{B} = A \cap \bar{C}$.
Exercice 718. Montrer que $(A \backslash B) \backslash C = A \backslash (B \cup C)$.

Exercice 719. Fonction indicatrice

Soit $E$ un ensemble et $A \subset E$. \\ Montrer les résultats suivants : \\
  1. $1_{A \cap B} = 1_A \times 1_B$. \\
  2. $1_{A \cup B} = 1_A + 1_B - 1_{A \cap B}$.
Exercice 720. Simplifier les ensembles suivants : \\
  1. $X = (A \cap B)\cup (A \cap \bar{B})$. \\
  2. $Y = (A \cup B) \cap (A \cup \bar{B})$.
Exercice 721. Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$. Résoudre l’équation $(E)$ : \[ (A \cap X) \cup (B \cap \overline{X}) = \varnothing \] en l’inconnue $X \in \mathcal{P}(E)$.

Exercice 722. Produit cartésien et complémentaire

\\ Soient $A$ une partie de $E$ et $B$ une partie de $F$. \\ Quel est le complémentaire de $A \times B$ dans $E \times F$ ?

Exercice 723. Distributivité

\\ Soient $A,B,C$ trois ensembles. \\
  1. Montrer que $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Distributivité de $\cup$ par rapport à $\cap$. \\
  2. Montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$. Distributivité de $\cap$ par rapport à $\cup$. \\
Exercice 724. Soit $E$ un ensemble et $A$, $B$ et $C$ des parties de $E$. \\
  1. Montrer que $A \backslash (B \cap C) = (A \backslash B) \cup (A \backslash C)$. \\
  2. Montrer que $(E \backslash A) \backslash (E \backslash B) = B \backslash A$. \\
  3. Montrer que $(A \cap B) \backslash C = (A \backslash C) \cap (B \backslash C)$.

Exercice 725. Fonction indicatrice n°2

\\ Montrer, à l'aide de la fonction indicatrice, que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

Exercice 726. Lois de Morgan

\\
  1. Soient $A,B$ des parties d'un ensemble $E$. \\ Montrer que $\bar{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ et $\bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$. \\
  2. Généralisation. Soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille de parties d'un ensemble $E$ indexée sur un ensemble $I$. \\ Montrer que $\displaystyle \bar{\bigcap_{i\in I} A_i} = \bigcup_{i \in I} \bar{A_i}$ et $\displaystyle \bar{\bigcup_{i\in I} A_i} = \bigcap_{i \in I} \bar{A_i}$.
Exercice 727. Soient $a$ et $b$ deux éléments distincts d'un ensemble $E$. \\ Déterminer les ensembles $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))$, $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a,b\}))$ et $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$.
Exercice 728. \\
  1. Montrer que $E \subset F \iff \mathcal{P}(E) \subset \mathcal{P}(F)$. \\
  2. Montrer que $\mathcal{P}(E \cap F) = \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F)$. \\
  3. A-t-on toujours $\mathcal{P}(E \cup F) = \mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F)$ ?
Exercice 729. Soit $E$ un ensemble. \\ Soient $A$, $B$, $D$ des parties non vides de $E$. Montrer que : \\
  1. $(\bar{A} \subset B) \iff (A\cup B= E)$. \\
  2. $A \backslash B = \bar{B} \backslash \bar{A}$. \\
  3. $(A \cup B = A \cup D$ et $A \cap B = A \cap D) \iff B = D$. \\
  4. $((A\times B)\cup (B \times A) = D^2) \iff (A = B = D)$.

Exercice 730. Différence symétrique

Soit $E$ un ensemble. Pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$, on note $A \Delta B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)$ la différence symétrique de $A$ et $B$. \\
  1. Déterminer $A \Delta A$ et $A \Delta \varnothing$. \\
  2. Montrer que $A \Delta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)$. \\
  3. Montrer que $\bar{A \Delta B} = (A \cap B)\cup(\bar{A\cup B})$. \\
  4. Soit $D$ une partie de $A$. Montrer que $A \Delta B = A \Delta D$ si et seulement si $B = D$. \\
  5. Montrer que $A \Delta B = A \cap B \implies A = B = \varnothing$.
Exercice 731. On considère deux ensembles $A$ et $B$ et on suppose qu'il existe un troisième ensemble $X$ tels que : \[ A \cap X = B \cap X \; \; et \; \; A \cup X = B \cup X \] Montrer que $A = B$.
Exercice 732. Soient $A$, $B$ et $X$ trois parties de $E$. \\
  1. Si $A \cap X = B \cap X$, a-t-on nécessairement $A = B$ ? \\
  2. Même question si $A \cup X = B \cup X$. \\
  3. Même question si $A \cap X = B \cap X$ et $A \cup X = B \cup X$. \\
  4. Même question si $(A \cup X) \backslash (A \cap X) = (B \cup X) \backslash (B \cap X)$.
Exercice 733. $k$ désigne un entier supérieur ou égal à $2$ et $A_{1},\dots,A_{k}$ sont $k$ parties d’un même ensemble. \\ Montrer que \\ \[ A_{1} \cup \dots \cup A_{k} = (A_{1} \setminus A_{2}) \cup (A_{2} \setminus A_{3}) \cup \dots \cup (A_{k-1} \setminus A_{k}) \cup (A_{k} \setminus A_{1}) \cup (A_{1} \cap \dots \cap A_{k}). \]
Exercice 734. Soient $E$ un ensemble, $n$ un entier non nul, $A_1,\ldots,A_n$ et $B_1,\ldots,B_n$ des parties de $E$.\\ Montrer que\\ \[ \bigcup_{i=1}^{n}(A_i \cap B_i) = \bigcap_{X \subset [1,n]} \parenthese{ \parenthese{\bigcup_{i \in X} A_i} \;\cup\; \parenthese{\bigcup_{i \notin X} B_i} }. \]
Exercice 735. Soit $E$ un ensemble. Montrer que $E$ est infini si et seulement si, pour tout $f : E \longrightarrow E$, il existe $A \subset E$ telle que $A \neq \varnothing$, $A \neq E$ et $f(A) \subset A$.