Sens de variation des suites

Exercice 56. Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant. \\ Affirmation : la suite $(p_n)$ définie par $p_n = n^2-42n+4$ est une suite strictement décroissante.
Exercice 57. Etudier les variations de la suite $(g_n)$ définie par $g_n = 0,1\times0,5^{n-1}+0,4$.
Exercice 58. Soit $\un$ la suite définie par $u_n = 2\times0,9^n-3$.\\ Montrer que la suite $\un$ est strictement décroissante.
Exercice 59. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n(1-5u_n)$.\\ Etudier le sens de variation de $\un$.
Exercice 60. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = \Frac{u_n}{1+u_n} $.\\
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.\\
  2. Déterminer le sens de variation de $\un$.
Exercice 61. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1000$ et $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.\\
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant 2500$. \\
  2. Montrer que $\un$ est croissante.
Exercice 62. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \Frac{1}{5} u_n^2$.\\
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $0 < u_n \leqslant 4$. \\
  2. Montrer que $\un$ est décroissante.
Exercice 63. Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = \Frac{1}{e}$ et $u_{n+1} = \Frac{1}{e}\parenthese{1+\Frac{1}{n}}u_n$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $\; 1+\Frac{1}{n} \leqslant e$.\\
  2. Montrer que $\un$ est décroissante.
Exercice 64. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = \Frac{3u_n}{1+2u_n}$.\\ On admet que pour tout $n \in \N$, $0 < u_n < 1$. Montrer que la suite $\un$ est croissante.
Exercice 65. Soit $a \in ]0,1[$. \\ Soit $\un$ la suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $u_n = \Frac{2n}{a^n}$. \\ Montrer que la suite $\un$ est strictement croissante.
Exercice 66. Soit $\un$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 5u_n-8n+6$.\\
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant 2n$. \\
  2. Montrer que la suite $\un$ est croissante.
Exercice 67. Soit $\un$ définie par $u_0 = 8$ et $u_{n+1} = \Frac{6u_n+2}{u_n+5}$ et $f : x \mapsto \Frac{6x+2}{x+5}$ définie sur $\Rp$. \\
  1. Montrer que pour tout réel $x > 2$, $f(x) > 2$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n > 2$. \\
  3. On admet que pour tout $n \in \N$, on a $u_{n+1}-u_n = \Frac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}$. \\ Montrer que $\un$ est décroissante.
Exercice 68. Soit $\un$ définie par $u_0 = a > 1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = u_n^2-2u_n+2$. \\
  1. Exprimer $u_{n+1}-2$ en fonction de $u_n$. \\
  2. Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n < 2$. \\
  4. Quel est le sens de variations de $\un$ ?
Exercice 69. Soient deux suites $\un$ et $\vn$ définies par $u_n = 3 \times 2^n +n-2 \quad et \quad v_n = 2^n$.\\ Montrer que la suite $\parenthese{\Frac{u_n}{v_n}}$ est décroissante à partir du rang 3.
Exercice 70. Soit $\un$ définie par $u_0 = 6$ et $u_{n+1} = \Frac{1}{2}u_n+3$.\\ Montrer que la suite $\un$ est constante.
Exercice 71. Soit $\un$ la suite définie par $u_n = \Frac{3n^2}{n^2+1}$. \\ Montrer que la suite est majorée par 3.
Exercice 72. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \Frac{u_n^3+2}{u_n^2+1}$.\\
  1. Montrer par récurrence que $0 < u_n < 2$ pour tout $n \in \N$.\\
  2. Etudier les variations de la suite $\un$.
Exercice 73. On considère la suite $\un$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = 1 - \Frac{1}{u_n}$.\\ Démontrer que la suite $(u_{3n})$ est constante.