Exercices divers

Exercice 1379. Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \cos(n)$ pour tout $n \in \N$. \\ En observant $u_{n+2} + u_n$, montrer que $(u_n)$ diverge.
Exercice 1380. \\
  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $(3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n$ est un entier pair. \\
  2. En déduire que $\sin \big( (3 + \sqrt{5})^n \pi \big)$ tend vers $0$ lorsque $n \to +\infty$.
Exercice 1381. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels convergeant vers une limite réelle $\ell$. A-t-on \[ \lim_{n \to +\infty} \lfloor u_n \rfloor = \lfloor \ell \rfloor \; ? \]
Exercice 1382. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ de terme général $x_n = \sin(\ln n)$ n’admet pas de limite.
Exercice 1383. Soit $x \in \R \backslash \Q$ et $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de rationnels convergeant vers $x$ : pour tout $n \in \N$, on note $u_n = \Frac{p_n}{q_n}$ avec $(p_n,q_n) \in \Z \times \N^*$. \\ Montrer que $q_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ et $\abs{p_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.
Exercice 1384. Soit $\alpha \in \R \backslash \{\pi\Z\}$. Montrer que l'existence d'uune des deux limites $\limn \sin(n\alpha)$, $\limn \cos(n\alpha)$ entraîne celle de l'autre, et que l'existence des deuux entraîne une contradiction. Conclure.
Exercice 1385. Suit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite complexe bornée telle que \[ \forall n \in \N, \quad u_{2n} = 2u_n-1 \] Montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ est constante égale à $1$.
Exercice 1386. \\
  1. Soit $\alpha$ un nombre irrationnel et $n \in \N^{*}$. Montrer qu'il existe $k,l \in \llbracket 0,n \rrbracket$ distincts tels que \[ \abs{k\alpha - \lfloor k\alpha \rfloor - l\alpha + \lfloor l\alpha \rfloor} \leqslant \Frac{1}{n}. \]
  2. En déduire qu'il existe une infinité de couples $(p,q) \in \Z \times \N^{*}$ tels que \[ \abs{\alpha - \Frac{p}{q}} \leqslant \Frac{1}{q^{2}}. \]
  3. Montrer que pour tous $x,y$ réels, \[ \abs{\sin(x)-\sin(y)} \leqslant \abs{x-y}. \]
  4. Étudier la convergence de la suite $(u_{n})_{n \geqslant 1}$ définie par \[ u_{n}=\Frac{1}{n\sin(n)}. \]
Exercice 1387. On dit qu’un réel $l$ est valeur d’adhérence d’une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ s’il existe une suite extraite de $(x_n)$ qui converge vers $l$. \\
  1. Montrer qu’une suite admettant au moins deux valeurs d’adhérence distinctes est une suite divergente. \\
  2. Donner un exemple de suite n’admettant pas de valeur d’adhérence, et un exemple de suite divergente admettant exactement une valeur d’adhérence. \\
  3. Montrer qu’une suite bornée admettant exactement une valeur d’adhérence est une suite convergente.
Exercice 1388. Une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ est dite suite de Cauchy si : \[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \N \; : \; \forall (p,q) \in \N^{2}, \; p \geqslant q \geqslant N \;\Longrightarrow\; \abs{x_p - x_q} \leqslant \varepsilon. \]
  1. Montrer que toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy. \\
  2. Montrer qu’une suite de Cauchy est bornée. \\
  3. En déduire que la suite $(x_n)$ est convergente (on utilisera le théorème de Bolzano-Weierstrass).
Exercice 1389. On définit la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ par $x_1 = 1$ et $x_{n+1} = \Frac{n}{x_n}$ pour tout $n \geqslant 1$. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \Frac{1}{\sqrt{n}} \left( \Frac{1}{x_1} + \Frac{1}{x_2} + \cdots + \Frac{1}{x_n} \right) = \sqrt{\Frac{\pi}{2}} + \sqrt{\Frac{2}{\pi}}. \]

Exercice 1390. Classique de Césaro

\\ Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle convergeant vers $\ell$. On définit une suite $(v_n)_{n\in\N}$ par \[ v_n = \Frac{1}{2^n} \Sum_{k=0}^{n} {n \choose k} u_k. \] Montrer que \[ \lim_{n\to+\infty} v_n = \ell. \]
Exercice 1391. Soit deux suites réelles $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ qui tendent vers $+\infty$ avec $\limn (u_{n+1}-u_n)=0$.\\ Donnez des exemples pour $(u_n)_n$.\\ Pour $\varepsilon>0$, on pose $n_0$ tel que $\forall n \geqslant n_0$, $|u_{n+1}-u_n|\leqslant \varepsilon$.\\ Montrer que pour tout $x \geqslant u_{n_0}$, il existe un rang $p$ tel que $|u_p-x|\leqslant \varepsilon$.\\ Montrer que $\{u_p-v_m\;;\;(p,m)\in\N^2\}$ est dense dans $\R$.\\ En déduire que, par exemple, $\{u_n-\lfloor u_n\rfloor\;;\;n\in\N\}$ est dense dans $[0,1]$.

Exercice 1392. X ENS - Lemme de Fekete

\\ Soit $(u_n)$ une suite réelle telel que \[ \forall (n,m) \in \N^*, \; u_{n+m} \leqslant u_n+u_m \] Montrer que si $\parenthese{\Frac{u_n}{n}}$ est minorée, elle converge.
Exercice 1393. Pour $n \in \N^*$ et toute fonction $f \in \mathcal{D}^{1}(]-1,+\infty[)$, on note $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$ et $\sum_n(f) = \Sum_{k=n+1}^{2n} f\parenthese{\Frac{1}{k}}$. \\
    1. Montrer que $(S_n)$ est monotone. \\
    2. Montrer que $(S_n)$ converge vers une limite $S_{\infty}$. \\
    1. On suppose $f(0) \neq 0$. Montrer que la suite $(\sum_n(f))_{n \in \N^*}$ diverge. \\
    2. On suppose $f(0) =0$. En revenant à la définition de la dérivée comme limite, montrer que la suite $(\sum_n(f))$ converge et donner sa limite en fonction de $S_{\infty}$. \\
    3. Déduire de ce qui précède la valeur de $S_{\infty}$, à l'aide de la fonction $h : x \mapsto \ln(1+x)$.

Exercice 1394. Moyenne Logarithmique

\\ Soit $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$. \\
  1. Montrer que $H_n \sim \ln{n}$ et $S_n \xrightarrow[]{} \ln{2}$. \\
  2. Soit $u \in \R^{\N^*}$ et $\ell \in \R$. \\
    1. On suppose $u_n \xrightarrow[]{} 0$. Montrer que $\Frac{1}{H_n} \Sum_{k=1}^{n} \Frac{u_k}{k} \xrightarrow[]{} 0$. \\
    2. On suppose $u_n \xrightarrow[]{} \ell$. Déterminer la limite de $\parenthese{\Frac{1}{\ln{n}}\Sum_{k=1}^{n}\Frac{u_k}{k}}_{n \geqslant 2}$. \\
  3. Soit $u \in \R^{\N^*}$ et $\ell \in \R$. \\ Montrer que si $\Frac{u_1+\hdots+u_n}{n} \xrightarrow[]{} \ell \in \R$, alors $\Frac{1}{\ln{n}}\Sum_{k=1}^{n}\Frac{u_k}{k} \xrightarrow[]{} \ell$. \\ On pourra calculer la somme $\Sum_{k=1}^{n} \parenthese{\Frac{U_k}{k+1}-\Frac{U_{k-1}}{k}}$, où $U_k = \Sum_{i=1}^{k} u_i$.