Exercices divers

Exercice 1030. Pour $n \in \N$, on pose $u_n = \displaystyle \binom{2n}{n}$. \\
  1. Pour $n \in \N$, simplifier le quotient $\Frac{u_{n+1}}{u_n}$. \\ En déduire que $u_{n+1} \geqslant 2u_n$. \\
  2. Montrer par récurrence que $u_{n+1} \geqslant 2^n$ pour $n \in \N$. \\
  3. En déduire $\limn u_n$.

Exercice 1031. Divergence de la série Harmonique

\\ Pour tout $n \in \N^*$, on considère $(H_n)$ la suite définie par $H_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$. \\
  1. Montrer que $H_{2n} - H_{n} \geqslant \Frac{1}{2}$.\\
  2. Montrer que $(H_n)$ est croissante.\\
  3. Montrer par l'absurde que $\limn H_n = +\infty$.

Exercice 1032. Divergence de la série Harmonique n°2

\\ Soit $H_n$ la suite harmonique, définie pour tout $n \geqslant 1$, par $H_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$. \\ On admet que pour tout $x \in \Rpe$, $\ln{x} \leqslant x-1$. \\
  1. Montrer que la suite $(H_n-\ln{n})_{n \geqslant 1}$ est décroissante. \\
  2. On admet que $\forall n \in \N^*$, $\ln{n} \leqslant H_n \leqslant \ln{n}+1$. \\ Montrer que la suite $(H_n-\ln{n})_{n \geqslant 1}$ est convergente.
Exercice 1033. Soit $u$ définie par $u_1 \in \Rpe$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{u_k}{k}$. \\
  1. Montrer que : $\forall n\in \N^*$, $u_n \geqslant u_1$. \\
  2. En déduire que : $\forall n \geqslant 2$, $u_n \geqslant \parenthese{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Frac{1}{k}}u_1$. \\
  3. Montrer que : $\forall k \in \N^*$, $\Frac{1}{k} \geqslant \ln(k+1)-\ln(k)$. \\
  4. En déduire $\limn u_n = +\infty$. \\
Exercice 1034. Soit $a$, $\alpha$ et $\beta$ trois réels strictement positifs. \\
  1. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = a$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = u_n^2$. \\ Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et $a$. \\
  2. Soit $0 < \beta < \alpha$. Soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites définies par : \\
    • $x_0 = \alpha$, $y_0 = \beta$ \\
    • $\forall n \in \N$, $\begin{cases} x_{n+1} = \Frac{x_n^2}{x_n+y_n} \\ y_{n+1} = \Frac{y_n^2}{x_n+y_n} \end{cases}$. \\
    Etudier le comportement de $x_n$ et $y_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1035. Soit $\un$ et $\vn$ deux suites réelles définies par : $u_0 > 0$, $v_0 > 0$ et $\forall n \in \N$, \[ u_{n+1} = u_n + \Frac{1}{v_n} \quad v_{n+1} = v_n + \Frac{1}{u_n} \]
  1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n > 0$ et $v_n > 0$. \\
  2. En déduire les variations de $u$ et $v$. \\
  3. Etablir que $\parenthese{\Frac{u_n}{v_n}}$ est constante. \\ En déduire que $\forall n \in \N$, $u_{n+1}-u_n = \Frac{u_0(u_1-u_0)}{u_n}$. \\
  4. $u$ converge-t-elle ? \\
  5. Déterminer $\limn u_n$.
Exercice 1036. On considère une suite $(a_n)_{n \in \N}$ croissante et de limite $\ell$ et on pose pour tout $n \in \N^*$, \[ b_n = \Frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}a_k \]
  1. Etablir pour tout entier $n$ non nul, l'inégalité $b_n \leqslant a_n$, puis étudier la monotonie de la suite $(b_n)_{n \in \N^*}$. \\
  2. Montrer que la suite $(b_n)_{n \in \N^*}$ converge vers un réel $\ell'$ qui vérifie $\ell' \leqslant \ell$. \\
  3. Etablir, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'inégalité suivante : $b_{2n} \geqslant \Frac{b_n+a_n}{2}$. \\
  4. En déduire que $\limn b_n = \limn a_n$. \\