Exercices divers

Exercice 1270. Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \cos(n)$ pour tout $n \in \N$. \\ En observant $u_{n+2} + u_n$, montrer que $(u_n)$ diverge.
Exercice 1271. \\
  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $(3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n$ est un entier pair. \\
  2. En déduire que $\sin \big( (3 + \sqrt{5})^n \pi \big)$ tend vers $0$ lorsque $n \to +\infty$.
Exercice 1272. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels convergeant vers une limite réelle $\ell$. A-t-on \[ \lim_{n \to +\infty} \lfloor u_n \rfloor = \lfloor \ell \rfloor \; ? \]
Exercice 1273. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ de terme général $x_n = \sin(\ln n)$ n’admet pas de limite.
Exercice 1274. Soit $x \in \R \backslash \Q$ et $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de rationnels convergeant vers $x$ : pour tout $n \in \N$, on note $u_n = \Frac{p_n}{q_n}$ avec $(p_n,q_n) \in \Z \times \N^*$. \\ Montrer que $q_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ et $\abs{p_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.
Exercice 1275. Soit $\alpha \in \R \backslash \{\pi\Z\}$. Montrer que l'existence d'uune des deux limites $\limn \sin(n\alpha)$, $\limn \cos(n\alpha)$ entraîne celle de l'autre, et que l'existence des deuux entraîne une contradiction. Conclure.
Exercice 1276. Suit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite complexe bornée telle que \[ \forall n \in \N, \quad u_{2n} = 2u_n-1 \] Montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ est constante égale à $1$.
Exercice 1277. \\
  1. Soit $\alpha$ un nombre irrationnel et $n \in \N^{*}$. Montrer qu'il existe $k,l \in \llbracket 0,n \rrbracket$ distincts tels que \[ \abs{k\alpha - \lfloor k\alpha \rfloor - l\alpha + \lfloor l\alpha \rfloor} \leqslant \Frac{1}{n}. \]
  2. En déduire qu'il existe une infinité de couples $(p,q) \in \Z \times \N^{*}$ tels que \[ \abs{\alpha - \Frac{p}{q}} \leqslant \Frac{1}{q^{2}}. \]
  3. Montrer que pour tous $x,y$ réels, \[ \abs{\sin(x)-\sin(y)} \leqslant \abs{x-y}. \]
  4. Étudier la convergence de la suite $(u_{n})_{n \geqslant 1}$ définie par \[ u_{n}=\Frac{1}{n\sin(n)}. \]
Exercice 1278. On dit qu’un réel $l$ est valeur d’adhérence d’une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ s’il existe une suite extraite de $(x_n)$ qui converge vers $l$. \\
  1. Montrer qu’une suite admettant au moins deux valeurs d’adhérence distinctes est une suite divergente. \\
  2. Donner un exemple de suite n’admettant pas de valeur d’adhérence, et un exemple de suite divergente admettant exactement une valeur d’adhérence. \\
  3. Montrer qu’une suite bornée admettant exactement une valeur d’adhérence est une suite convergente.
Exercice 1279. Une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ est dite suite de Cauchy si : \[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \N \; : \; \forall (p,q) \in \N^{2}, \; p \geqslant q \geqslant N \;\Longrightarrow\; \abs{x_p - x_q} \leqslant \varepsilon. \]
  1. Montrer que toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy. \\
  2. Montrer qu’une suite de Cauchy est bornée. \\
  3. En déduire que la suite $(x_n)$ est convergente (on utilisera le théorème de Bolzano-Weierstrass).
Exercice 1280. On définit la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ par $x_1 = 1$ et $x_{n+1} = \Frac{n}{x_n}$ pour tout $n \geqslant 1$. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \Frac{1}{\sqrt{n}} \left( \Frac{1}{x_1} + \Frac{1}{x_2} + \cdots + \Frac{1}{x_n} \right) = \sqrt{\Frac{\pi}{2}} + \sqrt{\Frac{2}{\pi}}. \]

Exercice 1281. Classique de Césaro

\\ Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle convergeant vers $\ell$. On définit une suite $(v_n)_{n\in\N}$ par \[ v_n = \Frac{1}{2^n} \Sum_{k=0}^{n} {n \choose k} u_k. \] Montrer que \[ \lim_{n\to+\infty} v_n = \ell. \]