Exercices divers

Exercice 908. Divergence de la série Harmonique

  1. Etudier les variations de $f : \Rpe \to \R, \; x \mapsto \ln(x+1)-\ln(x)-\Frac{1}{x}$. \\
  2. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. \\
  3. En déduire : $\forall n \in \N^*$, $\ln(n+1)-\ln(n) \leqslant \Frac{1}{n}$. \\
  4. On pose $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ pour $n \in \N^*$. Montrer que $\limn u_n = +\infty$. \\
  5. Etablir que : $\forall n \in \N^*$, $\Frac{1}{n+1} \leqslant \ln(n+1)-\ln(n)$. \\
  6. En déduire un encadrement de $u_n$ puis montrer que $u_n \sim \ln{n}$.

Exercice 909. Divergence de la série Harmonique n°2

On définit la suite $(h_n)$ pour $n \geqslant 1$ par $h_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$. \\
  1. Montrer que $(h_n)$ est croissante. On note $\ell$ sa limite, finie ou infinie, de $(h_n)$. Justifier son existence. \\
  2. Montrer que $h_{2n}-h_n \geqslant \Frac{1}{2}$, pour tout $n \in \N^*$. \\
  3. En raisonnant par l'absurde, montrer que $\ell = +\infty$. \\
Exercice 910. Soit $u$ définie par $u_1 \in \Rpe$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{u_k}{k}$. \\
  1. Montrer que : $\forall n\in \N^*$, $u_n \geqslant u_1$. \\
  2. En déduire que : $\forall n \geqslant 2$, $u_n \geqslant \parenthese{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Frac{1}{k}}u_1$. \\
  3. Montrer que : $\forall k \in \N^*$, $\Frac{1}{k} \geqslant \ln(k+1)-\ln(k)$. \\
  4. En déduire $\limn u_n = +\infty$. \\
Exercice 911. Soit $a$, $\alpha$ et $\beta$ trois réels strictement positifs. \\
  1. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = a$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = u_n^2$. \\ Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et $a$. \\
  2. Soit $0 < \beta < \alpha$. Soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites définies par : \\
    • $x_0 = \alpha$, $y_0 = \beta$ \\
    • $\forall n \in \N$, $\begin{cases} x_{n+1} = \Frac{x_n^2}{x_n+y_n} \\ y_{n+1} = \Frac{y_n^2}{x_n+y_n} \end{cases}$. \\
    Etudier le comportement de $x_n$ et $y_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 912. Soit $\un$ et $\vn$ deux suites réelles définies par : $u_0 > 0$, $v_0 > 0$ et $\forall n \in \N$, \[ u_{n+1} = u_n + \Frac{1}{v_n} \quad v_{n+1} = v_n + \Frac{1}{u_n} \]
  1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n > 0$ et $v_n > 0$. \\
  2. En déduire les variations de $u$ et $v$. \\
  3. Etablir que $\parenthese{\Frac{u_n}{v_n}}$ est constante. \\ En déduire que $\forall n \in \N$, $u_{n+1}-u_n = \Frac{u_0(u_1-u_0)}{u_n}$. \\
  4. $u$ converge-t-elle ? \\
  5. Déterminer $\limn u_n$.
Exercice 913. On définit une suite réelle $\un$ par \[ u_0 = 0 \quad et \quad \forall n \geqslant 1, \quad u_{n+1} = \sqrt{n+u_{n-1}} \]
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant \sqrt{n}$. \\
    1. Montrer que $\forall x \in \R_+$, $\sqrt{x} \leqslant \Frac{1}{2}(1+x)$. \\
    2. En déduire que pour tout entier $n$, $u_n \leqslant n+\Frac{u_0}{2^n}$ puis que la suite $\parenthese{\Frac{u_{n-1}}{n^2}}$ converge vers $0$. \\
    3. Montrer que la suite $\parenthese{\Frac{u_n}{n}}$ converge vers $0$, puis en remarquant que pour tout entier $n$ non nul, $1 \leqslant \Frac{u_n}{\sqrt{n}} \leqslant \sqrt{1+\Frac{u_{n-1}}{n}}$, en déduire que $u_n \sim \sqrt{n}$. \\
Exercice 914. On considère une suite $(a_n)_{n \in \N}$ croissante et de limite $\ell$ et on pose pour tout $n \in \N^*$, \[ b_n = \Frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}a_k \]
  1. Etablir pour tout entier $n$ non nul, l'inégalité $b_n \leqslant a_n$, puis étudier la monotonie de la suite $(b_n)_{n \in \N^*}$. \\
  2. Montrer que la suite $(b_n)_{n \in \N^*}$ converge vers un réel $\ell'$ qui vérifie $\ell' \leqslant \ell$. \\
  3. Etablir, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'inégalité suivante : $b_{2n} \geqslant \Frac{b_n+a_n}{2}$. \\
  4. En déduire que $\limn b_n = \limn a_n$. \\