Exercices divers

1. Pour $n \in \N$, simplifier le quotient $\Frac{u_{n+1}}{u_n}$. \\ En déduire que $u_{n+1} \geqslant 2u_n$. \\
2. Montrer par récurrence que $u_{n+1} \geqslant 2^n$ pour $n \in \N$. \\
3. En déduire $\limn u_n$.

Exercice 1011. Divergence de la série Harmonique

1. Montrer que $H_{2n} - H_{n} \geqslant \Frac{1}{2}$.\\
2. Montrer que $(H_n)$ est croissante.\\
3. Montrer par l'absurde que $\limn H_n = +\infty$.

Exercice 1012. Divergence de la série Harmonique n°2

1. Montrer que la suite $(H_n-\ln{n})_{n \geqslant 1}$ est décroissante. \\
2. On admet que $\forall n \in \N^*$, $\ln{n} \leqslant H_n \leqslant \ln{n}+1$. \\ Montrer que la suite $(H_n-\ln{n})_{n \geqslant 1}$ est convergente.

1. Montrer que : $\forall n\in \N^*$, $u_n \geqslant u_1$. \\
2. En déduire que : $\forall n \geqslant 2$, $u_n \geqslant \parenthese{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Frac{1}{k}}u_1$. \\
3. Montrer que : $\forall k \in \N^*$, $\Frac{1}{k} \geqslant \ln(k+1)-\ln(k)$. \\
4. En déduire $\limn u_n = +\infty$. \\

1. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = a$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = u_n^2$. \\ Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et $a$. \\
2. Soit $0 < \beta < \alpha$. Soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites définies par : \\
   • $x_0 = \alpha$, $y_0 = \beta$ \\
   • $\forall n \in \N$, $\begin{cases} x_{n+1} = \Frac{x_n^2}{x_n+y_n} \\ y_{n+1} = \Frac{y_n^2}{x_n+y_n} \end{cases}$. \\
   Etudier le comportement de $x_n$ et $y_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n > 0$ et $v_n > 0$. \\
2. En déduire les variations de $u$ et $v$. \\
3. Etablir que $\parenthese{\Frac{u_n}{v_n}}$ est constante. \\ En déduire que $\forall n \in \N$, $u_{n+1}-u_n = \Frac{u_0(u_1-u_0)}{u_n}$. \\
4. $u$ converge-t-elle ? \\
5. Déterminer $\limn u_n$.

1. Etablir pour tout entier $n$ non nul, l'inégalité $b_n \leqslant a_n$, puis étudier la monotonie de la suite $(b_n)_{n \in \N^*}$. \\
2. Montrer que la suite $(b_n)_{n \in \N^*}$ converge vers un réel $\ell'$ qui vérifie $\ell' \leqslant \ell$. \\
3. Etablir, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'inégalité suivante : $b_{2n} \geqslant \Frac{b_n+a_n}{2}$. \\
4. En déduire que $\limn b_n = \limn a_n$. \\

1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, les termes $a_n$ et $b_n$ sont bien définis et positifs. \\
2. Etudier les variations des suites $\an$ et $\bn$. \\
3. Montrer que $\an$ et $\bn$ convergent vers une même limite commune, que l'on notera $\delta(a,b)$. \\
4. Calculer $\delta(a,a)$, $\delta(a,0)$. \\
5. Exprimer $\delta(ka,kb)$ en fonction de $\delta(a,b)$ pour $k \in \Rp$.

Exercice 1018. Ecricome 2004

1. Calculer $a_1$ et pour tout $n \geqslant 1$, le rapport $\Frac{a_{n+1}}{a_n}$. \\
2. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $a_n \leqslant \sqrt{\Frac{n}{2n+1}}$. \\
3. Donner le sens de variation de la suite $(a_n)$ et montrer qu'elle converge vers un réel $\ell$ tel que $\Frac{1}{2} \leqslant \ell \leqslant \Frac{1}{\sqrt{2}}$.

Exercice 1019. ESCP 2024

Exercice 1020. HEC 2023

1. On considère l’ensemble des suites $(u_n)_{n \in \N}$ données par leurs deux premiers termes $u_0 = a$ et $u_1 = b$ dans $\R$ puis par la relation de récurrence : \[ \forall n \in \N, \quad u_{n+2} = u_{n+1} + \Frac{2}{n+2} u_n \tag{1} \] On suppose dans un premier temps que $a > 0$ et $b > 0$. \\ Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, \[ u_n < u_{n+1} \] et pour tout $n \geqslant 2$, \[ \Frac{u_{n+1}}{(n+1)^2} < \Frac{u_n}{n^2}. \] En déduire que la suite $(u_n)$ admet une limite finie ou égale à $+\infty$ et que la suite $\left(\Frac{u_n}{n^2}\right)$ admet une limite finie. \\
2. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, \[ u_{n+2} = u_1 + 2 \Sum_{k=0}^n \Frac{u_k}{k+2} \] puis que \[ u_{n+2} \geqslant u_0 + u_1 + 2u_1 \Sum_{k=1}^n \Frac{1}{k+2}. \] En déduire que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. \\
3. On suppose à présent que $a$ et $b$ ne sont plus forcément positifs mais sont quelconques dans $\R$. On note $u_n^{a,b}$ la suite vérifiant la relation de récurrence (1) telle que $u_0 = a$ et $u_1 = b$. \\
   1. Montrer qu’il existe des réels $\lambda$ et $\mu$ tels que \[ (a,b) = \lambda (1,1) + \mu (1,2). \]
   2. En déduire une relation entre $u_n^{a,b}$, $u_n^{1,1}$ et $u_n^{1,2}$.
   3. Montrer que la suite $u_n^{a,b}$ admet une limite (éventuellement infinie) et que la suite $\left(\Frac{u_n^{a,b}}{n^2}\right)$ admet une limite finie.

1. On s’intéresse ici à l’équation, pour $n \in \N$, $x^n e^x = 1$. \\
   1. Étudier les variations de la fonction $f_n : x \mapsto x^n e^x$ sur $\R_+$. \\
   2. En déduire que pour tout $n \in \N$, l’équation $x^n e^x = 1$ a une unique solution positive, que l’on note $u_n$. \\
   3. Justifier que $\forall n \in \N, 0 < u_n < 1$. \\
2. 1. Montrer que, pour tout $x \in \; ]0,1[$, $f_n(x) > f_{n+1}(x)$. \\
   2. En déduire que $f_n(u_{n+1}) > 1$, et que la suite $(u_n)$ est croissante. \\
3. 1. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \in [0,1]$. \\
   2. Supposons que $\ell < 1$. Montrer que $u_n^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. \\
   3. En déduire que $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$. \\

1. Montrer que la suite est comprise entre $0$ et $1$. \\
2. Étudier les variations de la suite $(u_n)$. \\
3. En déduire que la suite converge. \\
4. 1. On note $\ell$ la limite de $(u_n)$. Montrer que $\ell$ vérifie la relation suivante : \\ \[ \ell = \dfrac{\ell^2 + 1}{2} \]
   2. En déduire que $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$. \\

1. Montrer que $\un$ est décroissante, puis en déduire qu'elle converge. \\
2. Majorer et minorer $u_n$, puis en déduire un encadrement de la limite de $\un$.

1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n > 0$. \\
2. Déterminer la monotonie de la suite $\un$. \\
3. Montrer par récurrence que $\fforall n \in \N$, $(u_n)^2 \geqslant 2n+(u_0)^2$. \\
4. En déduire $\limn u_n$.