Suites adjacentes
Exercice 1025. Divergence de la série Harmonique
\\ On définit la suite $(h_n)$ pour $n \geqslant 1$ par $h_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$. \\- Montrer que $(h_n)$ est croissante. On note $\ell$ sa limite, finie ou infinie, de $(h_n)$. Justifier son existence. \\
- Montrer que $h_{2n}-h_n \geqslant \Frac{1}{2}$, pour tout $n \in \N^*$. \\
- En raisonnant par l'absurde, montrer que $\ell = +\infty$. \\
Exercice
1026. Soit $(S_n)$ définie pour $n\geqslant 1$ par \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \Frac{(-1)^{k+1}}{k} \]
- Montrer que $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont deux suites adjacentes. \\ Que peut-on en déduire ? \\
- Montrer que $(S_n)$ converge et donner un encadrement de la limite. \\
- Plus généralement, si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent, est-ce que $\un$ converge aussi ?
Exercice
1027. Soit $\un$ et $\vn$ les suites définies sur $\N^*$ par \[ \forall n \in \N^*, u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} \quad et \quad v_n = u_n + \Frac{1}{n\cdot n!} \]
- Montrer que $u$ et $v$ convergent vers une même limite que l'on notera $\ell$. \\
- Montrer que $\ell \notin \Q$. \\
- Etablir, $\forall n \in \N^*$, $\abs{\ell-u_n} \leqslant \Frac{1}{n \cdot n!}$.
Exercice
1028. Montrer que les suites $(S_n)$ et $(T_n)$ définies par \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k^2} \quad et \quad T_n = S_n + \Frac{1}{n} \] sont adjacentes.
Exercice
1029. Pour tout réel $a \in \left]0,\ps{2}\right[$, on pose $u_n = 2^n\sin\parenthese{\Frac{a}{2^n}}$ et $v_n = 2^n \tan\parenthese{\Frac{a}{2^{n}}}$. \\
Montrer que les suites $\un$ et $\vn$ sont adjacentes et déterminer leur limite. \\
On pourra utiliser les identités \[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \]
\[ \tan(2a) = \Frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)} \]