Suites adjacentes
Exercice 904. Divergence de la série Harmonique
On définit la suite $(h_n)$ pour $n \geqslant 1$ par $h_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$. \\- Montrer que $(h_n)$ est croissante. On note $\ell$ sa limite, finie ou infinie, de $(h_n)$. Justifier son existence. \\
- Montrer que $h_{2n}-h_n \geqslant \Frac{1}{2}$, pour tout $n \in \N^*$. \\
- En raisonnant par l'absurde, montrer que $\ell = +\infty$. \\
Exercice
905. Soit $(S_n)$ définie pour $n\geqslant 1$ par \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \Frac{(-1)^{k+1}}{k} \]
- Montrer que $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont deux suites adjacentes. \\ Que peut-on en déduire ? \\
- Montrer que $(S_n)$ converge et donner un encadrement de la limite. \\
- Plus généralement, si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent, est-ce que $\un$ converge aussi ?
Exercice
906. Soit $\un$ et $\vn$ les suites définies sur $\N^*$ par \[ \forall n \in \N^*, u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} \quad et \quad v_n = u_n + \Frac{1}{n\cdot n!} \]
- Montrer que $u$ et $v$ convergent vers une même limite que l'on notera $\ell$. \\
- Etablir, $\forall n \in \N^*$, $\abs{\ell-u_n} \leqslant \Frac{1}{n \cdot n!}$. \\
Exercice
907. Montrer que les suites $(S_n)$ et $(T_n)$ définies par \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k^2} \quad et \quad T_n = S_n + \Frac{1}{n} \] sont adjacentes.