Suites adjacentes

Exercice 1341. Soit $\un$ une suite décroissante de limite nulle. \\ On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n} (-1)^k u_k$. \\ Montrer que $(S_n)$ converge.
Exercice 1342. Soit $x$ un réel fixé. On considère les suites $(x_n)_{n \geqslant 0}$ et $(y_n)_{n \geqslant 0}$ définies par \[ x_n = \Frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n} \quad et \quad y_n = \Frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n} + \Frac{1}{10^n}. \]
  1. Montrer que $(x_n)_{n \geqslant 0}$ et $(y_n)_{n \geqslant 0}$ sont adjacentes. \\
  2. Montrer que leur limite commune est $x$.
Exercice 1343. Pour tout réel $a \in \left]0,\ps{2}\right[$, on pose $u_n = 2^n\sin\parenthese{\Frac{a}{2^n}}$ et $v_n = 2^n \tan\parenthese{\Frac{a}{2^{n}}}$. \\ Montrer que les suites $\un$ et $\vn$ sont adjacentes et déterminer leur limite.

Exercice 1344. Irrationalité de $e$

Soit $\un$ et $\vn$ les suites définies sur $\N^*$ par \[ \forall n \in \N^*, u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} \quad et \quad v_n = u_n + \Frac{1}{n\cdot n!} \]
  1. Montrer que $u$ et $v$ convergent vers une même limite que l'on notera $\ell$. \\
  2. Montrer que $\ell \notin \Q$. \\
  3. Etablir, $\forall n \in \N^*$, $\abs{\ell-u_n} \leqslant \Frac{1}{n \cdot n!}$.
Exercice 1345. Pour $n \in \N \setminus \{0 , 1\}$, on considère le polynôme $P_n = X^n - 5 X + 1$. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N \setminus \{0 , 1\}$, $P_n$ admet une unique racine $a_n$ dans $]0 , 1[$. \\
  2. Calculer $P_{n+1}(a_n)$ et en déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante. \\
  3. Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et trouver sa limite.
Exercice 1346. Soit $x,y \in \R_+^*$ et $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ définies par $u_0=x$, $v_0=y$ et :\\ \[ \begin{cases} u_{n+1}=\Frac{u_n+v_n}{2}\\ \Frac{1}{v_{n+1}}=\Frac{1}{u_n}+\Frac{1}{v_n} \end{cases} \] Montrer que $u_n$ et $v_n$ sont adjacentes et convergent vers une limite commune $\sqrt{xy}$.
Exercice 1347. Pour $n \geqslant 2$ on considère les suites $(x_n)_{n \geqslant 2}$ et $(y_n)_{n \geqslant 2}$ définies par \[ x_n = \prod_{k=2}^{n} \cos\!\left(\Frac{\pi}{2^{k}}\right) \quad\text{et}\quad y_n = x_n \cos\!\left(\Frac{\pi}{2^{n}}\right). \]
  1. Montrer que les suites $(x_n)_{n \geqslant 2}$ et $(y_n)_{n \geqslant 2}$ sont adjacentes et trouver leur limite commune. \\
  2. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$ : \[ 0 \leqslant x_n - l \leqslant \Frac{\pi^{2}}{2^{2n+1}}. \]
Exercice 1348. Soit $a,b \in \R_+^*$ et $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ définies par $u_0=a$, $v_0=b$ et :\\ \[ \begin{cases} u_{n+1}=\Frac{u_n+v_n}{2}\\ v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n} \end{cases} \] Soit $\alpha=\arccos\Frac{a}{b}$.\\ Montrez que $u_n$ et $v_n$ sont adjacentes avec comme limite commune $b\Frac{\sin\alpha}{\alpha}$.
Exercice 1349. Pour tout $n \in \N^*$, on pose $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$. \\
  1. Montrer que les suites $(H_n-\ln(n))_{ n\in \N^*}$ et $(H_n-\ln(n+1))_{n \in \N^*}$ sont adjacentes. \\
  2. En déduire que $S_n$ converge vers une limite $S_{\infty}$. \\
  3. Déterminer la limite de $\parenthese{\Frac{1}{\ln{n}}H_n}_{n \in \N^*}$.