Suites adjacentes
Exercice
1238. Soit $\un$ une suite décroissante de limite nulle. \\
On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n} (-1)^k u_k$. \\
Montrer que $(S_n)$ converge.
Exercice
1239. Soit $x$ un réel fixé. On considère les suites $(x_n)_{n \geqslant 0}$ et $(y_n)_{n \geqslant 0}$ définies par
\[
x_n = \Frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}
\quad et \quad
y_n = \Frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n} + \Frac{1}{10^n}.
\]
- Montrer que $(x_n)_{n \geqslant 0}$ et $(y_n)_{n \geqslant 0}$ sont adjacentes. \\
- Montrer que leur limite commune est $x$.
Exercice
1240. Pour tout réel $a \in \left]0,\ps{2}\right[$, on pose $u_n = 2^n\sin\parenthese{\Frac{a}{2^n}}$ et $v_n = 2^n \tan\parenthese{\Frac{a}{2^{n}}}$. \\
Montrer que les suites $\un$ et $\vn$ sont adjacentes et déterminer leur limite.
Exercice 1241. Irrationalité de $e$
Soit $\un$ et $\vn$ les suites définies sur $\N^*$ par \[ \forall n \in \N^*, u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} \quad et \quad v_n = u_n + \Frac{1}{n\cdot n!} \]- Montrer que $u$ et $v$ convergent vers une même limite que l'on notera $\ell$. \\ On admet que $\ell = e$. \\
- Montrer que $e \notin \Q$. \\
- Etablir, $\forall n \in \N^*$, $\abs{e-u_n} \leqslant \Frac{1}{n \cdot n!}$.
Exercice
1242. Pour $n \in \N \setminus \{0 , 1\}$, on considère le polynôme $P_n = X^n - 5 X + 1$. \\
- Montrer que, pour tout $n \in \N \setminus \{0 , 1\}$, $P_n$ admet une unique racine $a_n$ dans $]0 , 1[$. \\
- Calculer $P_{n+1}(a_n)$ et en déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante. \\
- Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et trouver sa limite.
Exercice
1243. Pour $n \geqslant 2$ on considère les suites $(x_n)_{n \geqslant 2}$ et $(y_n)_{n \geqslant 2}$ définies par
\[
x_n = \prod_{k=2}^{n} \cos\!\left(\Frac{\pi}{2^{k}}\right)
\quad\text{et}\quad
y_n = x_n \cos\!\left(\Frac{\pi}{2^{n}}\right).
\]
- Montrer que les suites $(x_n)_{n \geqslant 2}$ et $(y_n)_{n \geqslant 2}$ sont adjacentes et trouver leur limite commune. \\
- Montrer que pour tout $n \geqslant 2$ : \[ 0 \leqslant x_n - l \leqslant \Frac{\pi^{2}}{2^{2n+1}}. \]