Convergence

Exercice 1012. Soit $(u_n)_{n\geqslant0}$ une suite bornée telle que pour tout $n \in \N$, $2u_{n+1} \leqslant u_n + u_{n+2}$. \\
  1. On pose $v_n = u_{n+1}-u_n$. \\
    1. Déterminer les variations de $\vn$. \\
    2. On suppose qu'il existe $n_0 \in \N$ tel que $v_{n_0} > 0$. \\ Montrer que $\forall n \geqslant n_0$, $u_{n}-u_{n_0} \geqslant (n-n_0)v_{n_0}$ puis aboutir à une contradiction. \\
    3. Que peut-on conclure sur la suite $(v_n)$ ? \\
  2. Montrer que $\un$ est convergente.

Exercice 1013. Question de cours

\\ On suppose que la suite $\un$ converge vers $\ell$ et $\ell'$ deux réels. \\ Montrer que $\ell = \ell'$.
Exercice 1014. Soient deux suites $\un$ et $\vn$ telles que les suites $(u_n+v_n)$ et $(u_n-v_n)$ converge. \\ Montrer que les suites $\un$ et $\vn$ convergent.
Exercice 1015. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que $0 \leqslant u_n \leqslant 1$, $0 \leqslant v_n \leqslant 1$ et $\lim u_n v_n = 1$. \\ Que dire de ces suites ?

Exercice 1016. Vrai ou Faux ?

\\ Dire si la propriété est vraie ou fausse en justifiant : $u$ converge $\iff$ $\limn (u_{n+1}-u_n) = 0$.

Exercice 1017. Convergence dans $\Z$

\\ Montrer que $\un \in \Z^{\N}$ converge vers $\ell \in \Z$ si et seulement si $\un$ est stationnaire.
Exercice 1018. Montrer que toute suite d'entiers naturels qui converge vers $0$ est une suite stationnaire.

Exercice 1019. Définition de la limite

\\ On considère deux suites $\un$ et $\vn$ telles que \[ \limn u_n = \ell \quad et \quad \limn v_n = \ell', \quad avec \quad \ell < \ell' \] Montrer qu'à partir d'un certain rang, $u_n < v_n$.
Exercice 1020. Soit $a$ et $b$ deux réels et $\un$ et $\vn$ deux suites telles que \[ \forall n \in \N, \quad u_n \leqslant a \quad et \quad v_n \leqslant b \] On suppose que $\lim (u_n+v_n) = a+b$. \\ Montrer que $\lim u_n =a$ et $\lim v_n = b$.
Exercice 1021. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que \[ \limn u_n^2+u_nv_n+v_n^2 = 0 \] Montrer que $\un$ et $\vn$ convergent vers $0$.
Exercice 1022. Soit $\un \in (\R^*)^{\N}$ telle que $\lim \Frac{u_{n+1}}{u_n} = 0$. \\ Déterminer $\lim u_n$.
Exercice 1023. Soit $\un$ une suite croissante convergent vers $\ell \in \R$. \\ On pose $v_n = \Frac{u_1 + \hdots + u_n}{n}$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est croissante. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $v_{2n} \geqslant \Frac{u_n+v_n}{2}$. \\
  3. En déduire que $\vn$ converge vers $1$.

Exercice 1024. Moyenne de Cesaro

\\ Soit $\un_{n \geqslant 1}$ une suite. \\ On définit la suite $\vn_{n \geqslant 1}$ par $v_n = \Frac{u_1 + \hdots + u_n}{n}$. \\ Montrer que si $\un$ converge, alors $\vn$ converge vers la même limite. \\