Convergence

Exercice 1215. \\
  1. Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ une suite convergeant vers $a > 0$. Montrer que $u_n > 0$ à partir d'un certain rang.\\
  2. Soient $(u_n)_{n\geqslant 1}$ et $(v_n)_{n\geqslant 1}$ deux suites convergeant respectivement vers $a$ et $b$, avec $a < b$. Montrer que $u_n < v_n$ à partir d'un certain rang.
Exercice 1216. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que $0 \leqslant u_n \leqslant 1$, $0 \leqslant v_n \leqslant 1$ et $\lim u_n v_n = 1$. \\ Que dire de ces suites ?

Exercice 1217. Convergence dans $\Z$

\\ Montrer que $\un \in \Z^{\N}$ converge vers $\ell \in \Z$ si et seulement si $\un$ est stationnaire.
Exercice 1218. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes de réels. \\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \max(u_n , v_n)$.
Exercice 1219. Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite telle que \[ \lim_{n \to +\infty} x_n = l. \] Déterminer \[ \lim_{n \to +\infty} \lfloor x_n \rfloor. \]
Exercice 1220. Soit $f$ une application injective de $\N$ dans $\N$. \\ Démontrer que $(f(n))_{n \in \N}$ diverge vers $+\infty$.
Exercice 1221. Soit $f : \N^{*} \to \N^{*}$ une bijection. On suppose que la suite $\parenthese{\Frac{f(n)}{n}}_{n \geqslant 1}$ converge vers $l$. Montrer que $l=1$.
Exercice 1222. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$. \\ On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par $u_0 = a$, $v_0 = b$ et, pour tout $n \in \N$, \\ \[ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \qquad v_{n+1} = \Frac{u_n + v_n}{2}. \]
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n < v_n$. \\
  2. Montrer que $(u_n)$ est croissante et que $(v_n)$ est décroissante. \\
  3. En déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite.
Exercice 1223. Soit $a$ et $b$ deux réels et $\un$ et $\vn$ deux suites telles que \[ \forall n \in \N, \quad u_n \leqslant a \quad et \quad v_n \leqslant b \] On suppose que $\lim (u_n+v_n) = a+b$. \\ Montrer que $\lim u_n =a$ et $\lim v_n = b$.
Exercice 1224. Soient $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(v_n)_{n \in \N^*}$ deux suites à termes dans $\R^{+*}$. \\ On note pour tout $n \in \N$, $w_n = \Frac{u_n^3+v_n^3}{u_n^2+v_n^2}$. Montrer que \[ \begin{cases} u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \\ u_v \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \end{cases} \iff w_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \]
Exercice 1225. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que \[ \limn u_n^2+u_nv_n+v_n^2 = 0 \] Montrer que $\un$ et $\vn$ convergent vers $0$.

Exercice 1226. Critère de d'Alembert

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs telle que la suite $\parenthese{\Frac{u_{n+1}}{u_n}}_{n \in \N}$ converge vers $l \in \R$.\\
  1. Si $l < 1$, montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ converge et déterminer sa limite.\\
  2. Si $l > 1$, montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ diverge.\\
  3. Que se passe-t-il si $l = 1$ ?
Exercice 1227. Soit $\un$ une suite croissante convergent vers $\ell \in \R$. \\ On pose $v_n = \Frac{u_1 + \hdots + u_n}{n}$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est croissante. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $v_{2n} \geqslant \Frac{u_n+v_n}{2}$. \\
  3. En déduire que $\vn$ converge vers $1$.

Exercice 1228. Moyenne de Cesaro

\\ Soit $\un_{n \geqslant 1}$ une suite. \\ On définit la suite $\vn_{n \geqslant 1}$ par $v_n = \Frac{u_1 + \hdots + u_n}{n}$. \\ Montrer que si $\un$ converge, alors $\vn$ converge vers la même limite.

Exercice 1229. Césaro dans $\bar{\R}$

\\
  1. Soit $(u_n)$ une suite réelle de limite $\ell \in \overline{\R}$. Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \Frac{u_1 + \ldots + u_n}{n}$ admet aussi pour limite $\ell$. La réciproque est elle vraie ?\\
  2. On suppose maintenant que la suite $(u_n)$ est strictement positive et que $\parenthese{\Frac{u_{n+1}}{u_n}}$ converge vers $\ell \in \R$. Montrer que la suite $(\root n \of{u_n})$ converge également vers $\ell$. La réciproque est elle vraie ?\\
  3. Déterminer les limites des suites $(u_n)$ définies par $u_n = \root n \of{\Frac{1}{n!}}$, $u_n = \root n \of{\binom{2n}{n}}$ et $u_n = \Frac{n}{\root n \of{n!}}$.

Exercice 1230. Application Césaro

\\ On admet le résultat de Césaro : Si $\limn u_n = \ell$, alors $\limn \Frac{u_0+u_1+\hdots+u_{n-1}}{n} = \ell$. \\
  1. Montrer que si $\limn (u_{n+1}-u_n) = 1$, alors $\limn \Frac{u_{n}}{n} = 1$. \\
  2. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 1231. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle bornée telle que pour tout $n > 1$, $2 u_n \leqslant u_{n-1} + u_{n+1}$. \\ Montrer que cette suite est convergente.
Exercice 1232. Soit $u=(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle bornée.\\
  1. Montrer que pour tout $n\in\N$, les nombres $v_n=\inf_{k\geqslant n} u_k$ et $w_n=\sup_{k\geqslant n} u_k$ existent.\\
  2. Montrer que les suites $v$ et $w$ convergent.\\
  3. Montrer que $u$ converge si et seulement si $\lim v=\lim w$.
Exercice 1233. Soit $(a_n)$ une suite réelle telle que :\\
  • $\forall n \in \N$, $a_n \geqslant 1$.\\
  • $\forall (m , n) \in \N^2$, $a_{m+n} \leqslant a_m a_n$.\\
Montrer que la suite $b_n = \Frac{\ln(a_n)}{n}$ converge vers sa borne inférieure.

Exercice 1234. Oral ENS

\\ Soit $(u_n)$ une suite bornée telle que la suite $\Big(u_n + \Frac{u_{2n}}{2}\Big)$ converge. \\ Montrer que $u$ converge.
Exercice 1235. Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite de réels strictement positifs telle que \[ x_{n+m} \leqslant x_n + x_m \quad \text{pour tout } (m,n) \in \N^{*2}. \] Montrer que $\limn \Frac{x_n}{n} = \inf_{n \in \N^{*}} \Frac{x_n}{n}$.
Exercice 1236. \\
  1. Donner un exemple d’une suite réelle bornée mais non convergente. \\
  2. Montrer que \[ \begin{cases} (x_n)_{n \geqslant 0} \;\; est \;\; bornée, \\ x_{n+2} \leqslant \Frac{x_n + x_{n+1}}{2} \quad \forall n \geqslant 0, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad (x_n)_{n \geqslant 0} est \;\; convergente. \]
Exercice 1237. Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite réelle telle que : \[ \lim_{n \to +\infty} (2x_{n+1} - x_n) = l. \] Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} x_n = l. \]