Sommes doubles

Exercice 888. Calculer la somme $\Sum_{i=0}^{n}\parenthese{\Sum_{j=0}^{n}2^{i+j}}$.
Exercice 889. Pour $(p,n) \in (\N^*)^2$, donner une expression simple de $S = \Sum_{(k,i) \in \llbracket 1,n \rrbracket \times \llbracket 1,p\rrbracket} i^3 \ln(k)$.
Exercice 890. Calculer $S = \Sum_{(i,j) \in \llbracket 0,n \rrbracket \times \llbracket 1,n \rrbracket}(1-2^{i})2^{ij}$.
Exercice 891. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\max(i,j)$.
Exercice 892. Calculer $T = \displaystyle \sum_{0 \leqslant j \leqslant k \leqslant n}2^k\binom k j$.
Exercice 893. Calculer les sommes suivantes : \\
  • $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}\Frac{i}{1+j}$. \\
  • $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}3^{-\abs{i-j}}$. \\
Exercice 894. Calculer $\Sum_{i=1}^{n}\parenthese{\Sum_{j=i}^{n}\Frac{i}{j}}$.
Exercice 895. Calculer les sommes suivantes : \\
  • Pour $n \in \N^*$, $S_n = \displaystyle \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} 1 $. \\
  • Pour $n \geqslant 2$, $T_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \Frac{i}{j}$.
Exercice 896. \\
  1. Calculer $\displaystyle \sum_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 0 \leqslant j \leqslant n}} 3^j$ \\
  2. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} 3^j$
Exercice 897. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n }ij$ et $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij$ pour $n \in \N^*$.
Exercice 898. Calculer $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\parenthese{\sum_{i=j}^{n} \Frac{j^3}{(i+1)^2}}$.
Exercice 899. Calculer la somme $\Sum_{0 \leqslant j \leqslant k \leqslant n} \binom{n}{k}2^{j+k}$.
Exercice 900. Soit $n \in \N$. \\
  1. Calculer $\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\parenthese{\sum_{k=i}^{n}2^k}$. \\
  2. En déduire $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(k+1)2^k$.
Exercice 901. Calculer $S = \Sum_{j=0}^{n}\parenthese{\Sum_{k=j}^{n}2^{k}\binom{k}{j}}$.
Exercice 902. Pour tous $n, p \in \N$, on pose $S_p(n) = \Sum_{k=0}^{n} k^p$. \\
  1. Pour tout $n \in \N$ et $p \in \N$, calculer $\Sum_{i=0}^{p} \binom{p+1}{i} S_i(n)$. \\
  2. Retrouver le résultat par récurrence.
Exercice 903. Soient $n \in \N^*$, $(x_1, \dots, x_n) \in \R^n$ et $(a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ tels que $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$. \\
  1. Montrer que $\Sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j (x_i - x_j)^2 \leqslant 0$. \\
  2. Montrer que $\Sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j |x_i - x_j| \leqslant 0$.
Exercice 904. Calculer la somme $\Sum_{(j,i)\in \llbracket 0,n \rrbracket^2}\binom{i}{j}$.
Exercice 905. Soit $n \in \N^*$. \\ Calculer $\limn \Sum_{k=1}^{n} \Frac{k}{2^k}$.
Exercice 906. Calculer $S_n = \Sum_{k=1}^{n} a_k$ avec $a_k$ le nombre entier composé de $k$ fois le chiffre $1$.
Exercice 907. On pose $C_n = \Sum_{1 \leqslant p < q \leqslant n} (p+q)$. \\
  1. Montrer que $\Sum_{1 \leqslant p,q \leqslant n}{p+q} = 2C_n + 2 \Sum_{p=1}^{n}p$. \\
  2. En déduire $C_n$. \\

Exercice 908. Identité de Vandermonde

\\ Montrer de deux façons différentes l'identité de Vandermonde : \[ \forall m,n,k \in \N^*, \;\; \binom{m+n}{k} = \Sum_{p+q=k}\binom{m}{p}\binom{n}{q} \]
Exercice 909. Soit $a_1, \hdots, a_n$ des réels. Montrer que $\Sum_{i,j \in \llbracket 1,n \rrbracket} \Frac{a_ia_j}{i+j} \geqslant 0$. \\ On pourra considérer la fonction $f : x \mapsto \Sum_{i,j \in \llbracket 1,n \rrbracket} \Frac{a_ia_jx^{i+j}}{i+j}$.