Sommes doubles

Exercice 829. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\max(i,j)$.
Exercice 830. Calculer $T = \displaystyle \sum_{0 \leqslant j \leqslant k \leqslant n}2^k\binom k j$.
Exercice 831. Calculer les sommes suivantes : \\
  • $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}\Frac{i}{1+j}$. \\
  • $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}3^{-\abs{i-j}}$. \\
Exercice 832. Calculer les sommes suivantes : \\
  • Pour $n \in \N^*$, $S_n = \displaystyle \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} 1 $. \\
  • Pour $n \geqslant 2$, $T_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \Frac{i}{j}$.
Exercice 833.
  1. Calculer $\displaystyle \sum_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 0 \leqslant j \leqslant n}} 3^j$ \\
  2. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} 3^j$.
Exercice 834. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n }ij$ et $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij$ pour $n \in \N^*$.
Exercice 835. Calculer $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\parenthese{\sum_{i=j}^{n} \Frac{j^3}{(i+1)^2}}$.
Exercice 836. Soit $n \in \N$. \\
  1. Calculer $\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\parenthese{\sum_{k=i}^{n}2^k}$. \\
  2. En déduire $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(k+1)2^k$.