Calcul de limites

Exercice 992. Calculer la limite $\limn \Frac{5^n-(-3)^n}{5^n+(-3)^n}$.
Exercice 993. Calculer $\limn \sqrt[n]{n^2}$.
Exercice 994. Déterminer $\limn \parenthese{1-\Frac{1}{2^2}}\parenthese{1-\Frac{1}{3^2}}\hdots \parenthese{1-\Frac{1}{n^2}}$.
Exercice 995. Calculer $\limn n^2 \parenthese{\Frac{1}{2}}^{n} \sin(n!)$.
Exercice 996. Soit $r \in \R$ et $\alpha > 0$. \\ Calculer $\limn \Frac{r^n}{n^{\alpha}}$.
Exercice 997. On pose pour tout $n \in \N^*$, $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{n}{n^2+k}$. \\ Calculuer $\lim u_n$.
Exercice 998. \\
  1. Pour $n \in \N^*$, simplifier la somme $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln\parenthese{1+\Frac{1}{k}}$ puis donner la limite quand $n \to +\infty$ de cette expression. \\
  2. Pour $n \geqslant 2$, simplifier la somme $\displaystyle \sum_{k=2}^{n} \ln\parenthese{1-\Frac{1}{k^2}}$ puis donner la limite de cette expression lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 999. Somme de racines

\\
  1. Montrer que pour tout $ k \in \N^*$, $\sqrt{k+1}-\sqrt{k} \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{k}}$.
  2. En déduire le comportement en $+\infty$ de la suite définie par $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k}}$.
Exercice 1000.
  1. Montrer que $\limn \Frac{1}{n!} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-2} k! = 0$. \\
  2. En déduire la limite de $u_n = \Frac{1}{n!} \Sum_{k=0}^{n} k!$.
Exercice 1001. Soit $x \in \R$ et pour $n \in \N^*$, $x_n = \Frac{\lfloor nx \rfloor}{n}$. \\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $x_n \in \Q$ et calculer $\limn x_n$.

Exercice 1002. Limite de $q^n$

\\ Déterminer la limite de $\parenthese{\Frac{2}{q}}^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ suivant les valeurs de $q$.
Exercice 1003. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$ dans les cas suivants : \\
  1. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$. \\
  2. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}}$. \\
  3. $S_n = \Frac{1}{n^2} \Sum_{k=1}^{n} k$. \\
  4. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{n^2+k^2}$.
Exercice 1004. Soient $\alpha,\beta \in \R$ tels que $0 < \alpha < \beta$. \\
  1. Montrer que si $\alpha, \beta \in ]0,1[$, alors $\limn \alpha^n+\beta^n = 0$. \\
  2. Montrer que si $\limn \alpha^n+\beta^n = 0$, alors $\alpha, \beta\in ]0,1[$.
Exercice 1005. Soit $p \in \R$ tel que $\sin{p} \neq 0$. \\ On considère pour tout $n \geqslant 1$, le produit $P_n = \Prod_{k=1}^{n} \cos\parenthese{\Frac{p}{2^k}}$. \\
  1. Montrer que la suite $\un$ définie par $u_n = P_n\sin\parenthese{\Frac{p}{2^n}}$ est géométrique.\\
  2. En déduire une expression de $P_n$ en fonction de $n$ puis $\limn P_n$.
Exercice 1006. Soit un entier $p \geqslant 2$. On considère la suite $\un$ définie par $u_n = \cos{\Frac{2n\pi}{p}}$. \\
  1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_{n+p} = u_n$. \\
  2. Calculer $u_{np}$ et $u_{np+1}$. \\
  3. Montrer que $\un$ n'a pas de limite.
Exercice 1007. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites strictement positives telles que $\limn v_n = 0$ et \[ \forall n \in \N,\; \Frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n} \] Montrer que $\limn u_n = 0$.
Exercice 1008. \\
  1. Soit $a, b \in \Rpe$. Déterminer $\limn (a^n+b^n)^{1/n}$. \\
  2. Soient $a_1,\hdots,a_k$, $k$ réels strictement positifs. \\ Déterminer $\limn(\abs{a_1}^n+\hdots+\abs{a_k}^n)^{1/n}$.

Exercice 1009. Revenir à la définition de la limite

\\ Soit $q \in ]1;+\infty[$ et $\un$ une suite de réels strictement positifs. \\ On suppose que $\limn \Frac{u_{n+1}}{u_n} = q$. \\ Que peut-on dire de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $ +\infty$ ?
Exercice 1010. Pour tout entier $n \geqslant 2$, on pose $u_n = \Sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k\ln{k}}$. \\
  1. Montrer que pour tout $k \geqslant 3$, $\integrale{k}{k+1}{\Frac{1}{t\ln{t}}}{t} \leqslant \Frac{1}{k\ln{k}} \leqslant \integrale{k-1}{k}{\Frac{1}{t\ln{t}}}{t}$. \\
  2. En déduire que $(u_{n})_{n \geqslant 2}$ diverge et que $\limn \Frac{u_{n}}{\ln(\ln{n})} = 1$.
Exercice 1011. Soit $r \in \R$. \\ Déterminer $\limn \Frac{r^n}{n!}$.