Calculs de limites

Exercice 1201. Étudier la nature des suites suivantes et déterminer leur limite éventuelle : \\
  1. $u_n = \Frac{5n + (-1)^n}{2n + (-1)^{n+1}}$. \\
  2. $u_n = \Frac{\ln(n + e^n)}{n}$. \\
  3. $u_n = \Frac{\ln(1 + \sqrt{n})}{\ln(1 + n^2)}$.
Exercice 1202. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$ dans les cas suivants : \\
  1. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$. \\
  2. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}}$. \\
  3. $S_n = \Frac{1}{n^2} \Sum_{k=1}^{n} k$. \\
  4. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{n^2+k^2}$.
Exercice 1203. \\
  1. Montrer que $\limn \Frac{1}{n!} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-2} k! = 0$. \\
  2. En déduire la limite de $u_n = \Frac{1}{n!} \Sum_{k=0}^{n} k!$.
Exercice 1204. Soit $x \in \R$ et pour $n \in \N^*$, $x_n = \Frac{\lfloor nx \rfloor}{n}$. \\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $x_n \in \Q$ et calculer $\limn x_n$.
Exercice 1205. Calculer $\limn \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{n}{k}^{-1}$.
Exercice 1206. Soit $p \in \R$ tel que $\sin{p} \neq 0$. \\ On considère pour tout $n \geqslant 1$, le produit $P_n = \Prod_{k=1}^{n} \cos\parenthese{\Frac{p}{2^k}}$. \\
  1. Montrer que la suite $\un$ définie par $u_n = P_n\sin\parenthese{\Frac{p}{2^n}}$ est géométrique.\\
  2. En déduire une expression de $P_n$ en fonction de $n$ puis $\limn P_n$.
Exercice 1207. Soit un entier $p \geqslant 2$. On considère la suite $\un$ définie par $u_n = \cos{\Frac{2n\pi}{p}}$. \\
  1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_{n+p} = u_n$. \\
  2. Calculer $u_{np}$ et $u_{np+1}$. \\
  3. Montrer que $\un$ n'a pas de limite.
Exercice 1208. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites strictement positives telles que $\limn v_n = 0$ et \[ \forall n \in \N,\; \Frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n} \] Montrer que $\limn u_n = 0$.
Exercice 1209. Calculer la limite de $(u_n)$ de terme général : \\ \[ \forall n \in \N, \; u_n=\sin\!\parenthese{\Frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}. \]
Exercice 1210. Soit $a>0$ calculer la limite de $(u_n)$ de terme général : \\ \[ \forall n \in \N, \; u_n=\parenthese{\lfloor a^n \rfloor}^{\frac{1}{n}}. \]
Exercice 1211. Soient $\alpha,\beta \in \R$ tels que $0 < \alpha < \beta$. \\
  1. Montrer que si $\alpha, \beta \in ]0,1[$, alors $\limn \alpha^n+\beta^n = 0$. \\
  2. Montrer que si $\limn \alpha^n+\beta^n = 0$, alors $\alpha, \beta\in ]0,1[$.
Exercice 1212. Soit $q \in ]1;+\infty[$ et $\un$ une suite de réels strictement positifs. \\ On suppose que $\limn \Frac{u_{n+1}}{u_n} = q$. \\ Que peut-on dire de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $ +\infty$ ?
Exercice 1213. \\
  1. Soit $a, b \in \Rpe$. Déterminer $\limn (a^n+b^n)^{1/n}$. \\
  2. Soient $a_1,\hdots,a_k$, $k$ réels strictement positifs. \\ Déterminer $\limn(\abs{a_1}^n+\hdots+\abs{a_k}^n)^{1/n}$.
Exercice 1214. Soit $(u_n)$ une suite réelle qui tend vers $+\infty$. Montrer que $\{u_n,\; n \in \N\}$ admet un plus petit élément.