Calcul de limite

Exercice 894. Déterminer la limite des suites suivantes : \\
  • $a_n = 2^n+\Frac{1}{n}$. \\
  • $b_n = n^2+3n$. \\
  • $c_n = \sqrt{n^2+1}$. \\
  • $d_n = -3n+5$. \\
  • $e_n = (-1)^{2n}$. \\
  • $f_n = \Frac{\parenthese{\Frac{1}{2}}^{n}+1}{5n^2-1}$. \\
  • $g_n = 2n+\ln(n)$.
Exercice 895. Soit la suite définie par $u_n = \Frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$. \\
  1. Justifier que pour tout $n \in \N^*$, $u_n \geqslant 0$. \\
  2. Montrer que $\un$ converge vers $1$.
Exercice 896.
  1. Montrer que $\limn \Frac{1}{n!} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-2} k! = 0$. \\
  2. En déduire la limite de $u_n = \Frac{1}{n!}\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k!$.

Exercice 897. Vrai ou Faux ?

Dire si la propriété est vraie ou fausse en justifiant : $u$ converge $\iff$ $\limn (u_{n+1}-u_n) = 0$.
Exercice 898.
  1. Soit $a, b \in \Rpe$. Déterminer $\limn (a^n+b^n)^{1/n}$. \\
  2. Soient $a_1,\hdots,a_k$, $k$ réels strictement positifs. \\ Déterminer $\limn(\abs{a_1}^n+\hdots+\abs{a_k}^n)^{1/n}$.

Exercice 899. Revenir à la définition de la limite

Soit $q \in ]1;+\infty$ et $\un$ une suite de réels strictement positifs. \\
  1. On suppose que $\limn \Frac{u_{n+1}}{u_n} = q$. \\ Que peut-on dire de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $ +\infty$ ? \\
  2. Déterminer $\limn \Frac{n!}{e^n}$.