Suites récurrentes linéaires

Exercice 889. Soit $\un$ définie par $u_0 = 2$, $u_1 = 5$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$.\\ Calculer $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 890. On considère la suite $\un$ définie par $u_0 = -1$, $u_1 = 4$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+2} = 4u_{n+1}-4u_n$. \\ Calculer $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 891. Soit $u$ la suite définie par \[ \forall n \in \N, u_{n+2} = \sqrt{u_{n+1}u_n} \quad avec \quad u_0 = 1, u_1 = 2 \]

1. Montrer que pour tout entier $n$, $u_n > 0$. On considère alors la suite $w$ définie pour tout $n$ par $w_n = \ln(u_n)$. \\
2. Montrer que $w$ suit une récurrence linéaire d'ordre 2. Expliciter alors le terme général de la suite $w$. En déduire celui de la suite $u$.

Exercice 892. Soit $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$, $u_1 = \Frac{e}{2}$ et \[ \forall n\in\N, \; u_{n+2} = 2\Frac{u_{n+1}^3}{u_n} \]

1. Justifier que la suite $\un$ est bien définie ainsi que la suite $\vn$ définie par $v_n = \ln(2u_n)$. \\
2. Donner le terme général de $\un$.

Exercice 893. Etudier la suite $u$ définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n+2$. \\ On pourra utiliser une suite auxiliaire du type $v_n = u_n - \alpha$ avec $\alpha$ est une constante bien choisie.