Etude de fonction

Exercice 843. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : \\
  • $f(x) = \Frac{\sqrt{2x+1}}{x^2+5x+6}$. \\
  • $g(x) = \ln(2x^2+2x-12)$.
Exercice 844. Soit $f : \R_{+} \to \R$ définie par $f(x) = \Frac{2x+1}{x+2}$. \\ Montrer que $f$ est bornée.
Exercice 845. Déterminer les variations de $f(x) = x^x$ après avoir déterminé son ensemble de définition. \\ Même question pour $g(x) = x^{\frac{1}{x}}$.
Exercice 846. Etudier les variations de la fonction $f$ : $x\mapsto x^n$ sur $\R$ avec $n \in \N$. \\ En déduire que pour tout $n \geqslant 2$, $\parenthese{1-\Frac{2}{n}}^n < \parenthese{1-\Frac{1}{n}}^{2n}$.

Exercice 847. Inégalités connues

\\
  1. Montrer que pour tout $x \in \R$, $e^x \geqslant x+1$. \\
  2. Montrer que pour tout $x > -1$, $\ln(1+x) \leqslant x$.

Exercice 848. d'après MPSI

\\ Etudier la fonction $x \mapsto \Frac{\ln{x}}{x}$ puis déterminer sans calculatrice le plus petit des deux réels $e^{\pi}$ et $\pi^{e}$.
Exercice 849. Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln(e^x-e^{-x})$. \\
  1. Déterminer le domaine de définition $\mathscr{D}$ de $f$.\\
  2. Démontrer que l'équation $f(x) =0$ admet une unique solution sur $\mathscr{D}$, que l'on notera $\alpha$. \\
  3. Montrer que $f'(\alpha) = \sqrt{5}$.
Exercice 850. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Soit $G_{a,b}$ la fonction définie sur $\R_+$ par \[ G_{a,b}(x)=exp\parenthese{-ax-\Frac{b}{2}x^2}\]
  1. Soit $y \geqslant 0$. Résoudre sur $\R$ l'équation $ax+\Frac{b}{2}x^2=y$. \\
  2. Soit $u \in ]0;1]$. Résoudre sur $\R_+$ l'équation $G_{a,b}(x)=u$.
Exercice 851. Soit $f$ définie par $f(x) = \ln(e^{2x}-e^x+1)$ \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $f$. \\
  2. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}$. \\ Déterminer les variations de $f$ sur $\mathcal{D}$. \\
  3. Résoudre $f(x)=0$.