Généralités
Exercice
909. Montrer que si $f$ est une fonction impaire telle que $O \in \mathcal{D}_f$, alors $f(0)=0$.
Exercice
910. Montrer que si $f$ est paire et impaire, alors $f$ est la fonction nulle.
Exercice
911. Soit $f : \R \to \R$ une application telle que \[ \forall x \in \R, f(x) \neq 3 \quad et \quad f(x+1) = \Frac{f(x)-5}{f(x)-3} \]
Montrer que $f$ est $4$-périodique.
Exercice
912. \\
Montrer que la fonction $f$ : $x \mapsto \ln(\sqrt{x^2+1}+x)$ est une fonction impaire. \\
On donnera avant l'ensemble de définition de $f$.
Exercice
913. \\
On dit que $f$ est $1$-lipschitzienne si pour tout $x,y \in \mathscd{D}_f$, $\abs{f(x)-f(y)} \leqslant \abs{x-y}$. \\
On sait que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$. \\
Montrer que $\sin $ est $1$-lipschitzienne.
Exercice
914. Soit $f : [0,1] \to \R$ définie par $f(x) = \begin{cases} x\lfloor \frac{1}{x} \rfloor \quad si \;\; x \neq 0 \\ 1 \quad si \;\; x = 0 \end{cases}$. \\
Montrer que $f \circ f = f$.
Exercice
915. Soient $x,y,z \in \Rpe$ tels que $x \leqslant y \leqslant z$. \\
Montrer que \[ \Frac{x}{1+x} < \Frac{y}{1+y} + \Frac{z}{1+z} \]