Exercices divers

Exercice 809. Donner une expression en fonction de $n$ de $R_n = \displaystyle \prod_{k=1}^{n}e^{k}$ et $S_n = \displaystyle \sum_{k=2}^{n} \ln(k)$.

Exercice 810. Un classique

Soit $n \in \N^*$. Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ \forall x \in \R, \; f(x) = \sum_{k=0}^{n}x^k \]
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$. \\
  2. En exprimant de deux façons différentes la dérivée de $f$, établir : \[ \forall x \in \R \backslash \{1\}, \; \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1} = \Frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}\]
Exercice 811.
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, pour tout réels $a$ et $b$, on a \[ a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k \]
  2. En déduire que pour tout entier naturel impair $n$, on a \[ a^n+b^n = (a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^{n-1-k}b^k \]
Exercice 812. En utilisant judicieusement la dérivation, simplifier la somme suivante \[ \sum_{k=0}^{n}ke^{kx} \]
Exercice 813. Soit $n \in \N^*$ et $x \in \R$. On pose $P_n(x) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n}\parenthese{1+\Frac{x}{k}}$. \\
  1. Calculer $P_3(2)$. \\
  2. Calculer pour tout $n \in \N^*$, $P_n(0)$, $P_n(1)$ et $P_n(-n)$. \\
  3. Démontrer que pour tout $x \in \R^*$, on a : $P_n(x) = \Frac{x+n}{x}P_n(x-1)$. \\
  4. Pour tout $p \in \N^*$ et pour tout $n \in \N^*$, écrire $P_n(p)$ comme produit et quotient de factorielles.

Exercice 814. Produit d'une somme

Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et tout $x \in \R \backslash \{1\}$, $\displaystyle \prod_{p=0}^{n-1} (1+x^{3^p}+x^{2\times3^p}) = \Frac{x^{3^n}-1}{x-1}$.

Exercice 815. Une inégalité

Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $0 \leqslant \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k3^k} \leqslant \Frac{1}{2}$.
Exercice 816. On considère pour $n \in \N^*$, $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k+n^2}}$. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{n+1}{\sqrt{n+n^2}} \leqslant S_n \leqslant \Frac{n+1}{n}$. \\
  2. En déduire la limite de la suite $(S_n)$.
Exercice 817. Soient $x_1,\hdots,x_n$ des réels. On note $m = \Frac{x_1+\hdots+x_n}{n}$ la moyenne des $(x_i)$. \\ Montrer la formule de Koenig-Huygens : \[ \Frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2 = \parenthese{\Frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2}-m^2 \]
Exercice 818. Pour tout $n \geqslant p$, montrer que $\displaystyle \sum_{k=p}^{n} \binom k p = \binom{n+1}{p+1}$.
Exercice 819. Calculer \[ S = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{2^k}\binom n k \]
Exercice 820. Calculer $T = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom n k$.
Exercice 821. Calculer $S = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k+1}\binom n k $.
Exercice 822. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\binom n k$ et $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^2 \binom n k $.
Exercice 823. Soit $n \in \N^*$. Soient $x_1, \hdots, x_n \in \R$ tels que $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k = n$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k^2 = n$. \\ Montrer que pour tout $1 \leqslant k \leqslant n$, $x_k =1$.
Exercice 824. Pour $n \geqslant 2$, on pose $u_n = \displaystyle \sum_{k=2}^{n} \Frac{1}{k^2}$. \\
  1. Montrer que $\un$ est croissante. \\
  2. Montrer que pour tout $k \geqslant 2$, on a $\Frac{1}{k^2} \leqslant \Frac{1}{k-1}-\Frac{1}{k}$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$, $u_n \leqslant 1$. \\
  4. Justifier la convergence de $(u_n)$.
Exercice 825.
    1. Montrer que pour tout $a \in \R$, $a(1-a)\leqslant \Frac{1}{4}$. \\
    2. En déduire que $\forall a \in [0,1]$, $\forall n \in \N$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a^k(1-a)^k \leqslant \Frac{4}{3}$. \\
  2. Montrer que $\forall a \in [0;1]$, $\forall n \in \N$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a^k(1-a)^k \leqslant \Frac{1}{1-a}$.
Exercice 826. On considère la suite $(S_n)_{n \in \N^*}$ définie par \[ \forall n \in \N^*, \; S_n = \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k^2} \]
  1. Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$. les résultats seront donnés sous forme d'entiers ou de fractions irréductibles. \\
  2. Etudier les variations de la suite $(S_n)$. \\
    1. Etablir que pour tout entier $k \geqslant 2, \; \Frac{1}{k^2} \leqslant \Frac{1}{k(k-1)}$. \\
    2. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout entier $k\geqslant 2$, $\Frac{1}{k(k-1)} = \Frac{a}{k} + \Frac{b}{k-1}$. \\ En déduire une expression simplifiée de $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k(k-1)}$. \\
    3. Déduire des questions précédentes : $\forall n \geqslant 2$, $S_n \leqslant 2 - \Frac{1}{n}$. \\
  4. Montrer que la suite $(S_n)$ est bornée.
Exercice 827. Soit $n$ un entier naturel non nul. Soient $x_1, \hdots,x_n$,$y_1,\hdots,y_n$ des réels.\\
  1. Justifier que pour tout $t \in \R$, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(\abs{x_i}+t\abs{y_i})^2 = at^2+bt+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à exprimer en fonction des $(x_i)$ et des $(y_i)$. \\
  2. Montrer que $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\abs{x_iy_i} \leqslant \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_i^2}$. \\ Cette inégalité est appelée inégalité de Cauchy-Schwarz. \\
  3. En appliquant l'inégalité à des réels bien choisis, montrer que $\Frac{6n}{(n+1)(2n+1)} \leqslant \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k^2}$.
Exercice 828. Le but de l'exercice est d'étudier la limite de la suite $(S_n)$ définie par : pour tout entier $n \geqslant 2$, \[ S_n = \sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k^2} \]
    1. Montrer que pour tout entier $k \geqslant 2$, $\Frac{1}{k}-\Frac{1}{k+1} \leqslant \Frac{1}{k^2} \leqslant \Frac{1}{k-1}-\Frac{1}{k}$. \\
    2. Pour $n \geqslant 2$, montrer que $\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k-1}-\Frac{1}{k} \leqslant 1$. \\
    1. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$, $S_n \leqslant 1$. \\
    2. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$, $S_n \leqslant S_{n+1}$. \\
    3. Montrer que $(S_n)$ a une limite finie (que l'on notera $\ell$).\\ Pour tout entier $m \geqslant 2$, on note $R_m = \ell-S_m = \limn (S_n-S_m)$. \\
    1. Montrer que pour tout entier $m$ et $n \geqslant m \geqslant 1$ : $\Frac{1}{m+1} - \Frac{1}{n+1} \leqslant \displaystyle \sum_{k=m+1}^{n}\Frac{1}{k^2} \leqslant \Frac{1}{m}$. \\
    2. En déduire que pour tout entier $m \geqslant 1$ : $\Frac{1}{m+1} \leqslant R_m \leqslant \Frac{1}{m}$. \\
  4. Déterminer la plus petite valeur de $m$ telle que $\ell-S_m \leqslant 10^{-2}$.