Exercices divers

Exercice 869. Donner une expression en fonction de $n$ de $R_n = \displaystyle \prod_{k=1}^{n}e^{k}$ et $S_n = \displaystyle \sum_{k=2}^{n} \ln(k)$.
Exercice 870. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = 2u_n + n(n-1)2^{n}$. \\ Pour tout $k \in \N$, on pose $v_k = \Frac{u_k}{2^k}$. \\
  1. Pour $k \in \N$, calculer $v_{k+1}-v_k$ en fonction de $k$. \\
  2. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{n-1}(v_{k+1}-v_k)$ de deux manières différentes, puis en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 871. Une majoration

\\ Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $0 \leqslant \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k3^k} \leqslant \Frac{1}{2}$.
Exercice 872. Pour $n \geqslant 2$, on pose $u_n = \displaystyle \sum_{k=2}^{n} \Frac{1}{k^2}$. \\
  1. Montrer que $\un$ est croissante. \\
  2. Montrer que pour tout $k \geqslant 2$, on a $\Frac{1}{k^2} \leqslant \Frac{1}{k-1}-\Frac{1}{k}$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$, $u_n \leqslant 1$. \\
  4. Justifier la convergence de $(u_n)$.
Exercice 873. On considère pour $n \in \N^*$, $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k+n^2}}$. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{n+1}{\sqrt{n+n^2}} \leqslant S_n \leqslant \Frac{n+1}{n}$. \\
  2. En déduire la limite de la suite $(S_n)$.

Exercice 874. Un classique

\\ Soit $n \in \N^*$. Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par $\forall x \in \R, \; f(x) = \Sum_{k=0}^{n}x^k$. \\
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$. \\
  2. En exprimant de deux façons différentes la dérivée de $f$, établir $\forall x \in \R \backslash \{1\}, \; \Sum_{k=1}^{n}kx^{k-1} = \Frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}$.
Exercice 875. En utilisant judicieusement la dérivation, simplifier la somme suivante $\Sum_{k=0}^{n}ke^{kx}$.

Exercice 876. Factorisation

\\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, pour tout réels $a$ et $b$, on a \[ a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k \]
  2. En déduire que pour tout entier naturel impair $n$, on a \[ a^n+b^n = (a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^{n-1-k}b^k \]
Exercice 877. Soit $n \in \N^*$ et $x \in \R$. On pose $P_n(x) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n}\parenthese{1+\Frac{x}{k}}$. \\
  1. Calculer $P_3(2)$. \\
  2. Calculer pour tout $n \in \N^*$, $P_n(0)$, $P_n(1)$ et $P_n(-n)$. \\
  3. Démontrer que pour tout $x \in \R^*$, on a : $P_n(x) = \Frac{x+n}{x}P_n(x-1)$. \\
  4. Pour tout $p \in \N^*$ et pour tout $n \in \N^*$, écrire $P_n(p)$ comme produit et quotient de factorielles.

Exercice 878. Produit d'une somme

Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et tout $x \in \R \backslash \{1\}$, $\displaystyle \prod_{p=0}^{n-1} (1+x^{3^p}+x^{2\times3^p}) = \Frac{x^{3^n}-1}{x-1}$.
Exercice 879. \\
  1. Etudier la fonction $f : x \mapsto (1+x)^n$ puis calculer $\Sum_{k=1}^{n}k^2 \binom{n}{k}$. \\
  2. Montrer l'identité : $\forall n \geqslant 2$, $k \displaystyle \binom{n}{k} = n \displaystyle \binom{n-1}{k-1}$. \\ En déduire une nouvelle façon de calculer $\Sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}$.
Exercice 880. \\
  1. Calculer les sommes $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}$. \\
  2. En déduire les sommes suivantes $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; pair}} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; impair}} \binom{n}{k}$
Exercice 881. L’objectif est de déterminer la valeur de $S_n = \Sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{2^k} \displaystyle\binom{k}{n}$.\\
  1. Calculer $S_0$, $S_1$ et $S_2$. Conjecturer la valeur de $S_n$ pour $n \in \N$. \\
  2. Montrer que, pour tout $n \in \N$, on a $S_n = \Sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2^{n+k}} \displaystyle\binom{n+k}{k}$. \\
  3. Soit $n \in \N$. Montrer que $\displaystyle \binom{2n+2}{n+1} = 2 \displaystyle \binom{2n+1}{n+1}$ et en déduire que $S_{n+1} = \dfrac{1}{2} S_n + \dfrac{1}{2} S_{n+1}$. \\
  4. Conclure.

Exercice 882. Suite des coefficients binomiaux

\\ Soit $n \in \N^*$. \\ On considère la suite finie $(u_k)$ pour tout $k \in \llbracket 0, 2n \rrbracket$ définie par \[ u_k = \binom{2n}{k} \]
  1. En étudiant les variations de $(u_k)$, déterminer le rang de la valeur maximale de cette suite. \\
  2. En utilisant une somme, montrer l'inégalité $\Frac{2^{2n}}{2n+1} \leqslant \displaystyle \binom{2n}{n}$.
Exercice 883. \\
    1. Montrer que pour tout $a \in \R$, $a(1-a)\leqslant \Frac{1}{4}$. \\
    2. En déduire que $\forall a \in [0,1]$, $\forall n \in \N$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a^k(1-a)^k \leqslant \Frac{4}{3}$. \\
  2. Montrer que $\forall a \in [0;1]$, $\forall n \in \N$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a^k(1-a)^k \leqslant \Frac{1}{1-a}$.
Exercice 884. Soit $n \in \N^*$. Soient $x_1, \hdots, x_n \in \R$ tels que $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k = n$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k^2 = n$. \\ Montrer que pour tout $1 \leqslant k \leqslant n$, $x_k =1$.

Exercice 885. Formule de Koenig-Huygens

\\ Soient $x_1,\hdots,x_n$ des réels. On note $m = \Frac{x_1+\hdots+x_n}{n}$ la moyenne des $(x_i)$. \\ Montrer la formule de Koenig-Huygens : \[ \Frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2 = \parenthese{\Frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2}-m^2 \]
Exercice 886. Calculer, pour $n, p \in \N^*$, la somme suivante : \[ \Sum_{i=0}^{n} \parenthese{ \Prod_{j=1}^{p}(i+j) }. \]
Exercice 887. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Prod_{k=0}^{n-1} \Frac{n!}{k!} = \Prod_{k=1}^{n} k^k$.