Exercices divers

Exercice 778. Factorisation

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  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, pour tout réels $a$ et $b$, on a \[ a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k \]
  2. En déduire que pour tout entier naturel impair $n$, on a \[ a^n+b^n = (a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^{n-1-k}b^k \]
Exercice 779. En utilisant judicieusement la dérivation, simplifier la somme suivante $\Sum_{k=0}^{n}ke^{kx}$.
Exercice 780. Soit $n \in \N^*$ et $x \in \R$. On pose $P_n(x) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n}\parenthese{1+\Frac{x}{k}}$. \\
  1. Calculer $P_3(2)$. \\
  2. Calculer pour tout $n \in \N^*$, $P_n(0)$, $P_n(1)$ et $P_n(-n)$. \\
  3. Démontrer que pour tout $x \in \R^*$, on a : $P_n(x) = \Frac{x+n}{x}P_n(x-1)$. \\
  4. Pour tout $p \in \N^*$ et pour tout $n \in \N^*$, écrire $P_n(p)$ comme produit et quotient de factorielles.

Exercice 781. Produit d'une somme

Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et tout $x \in \R \backslash \{1\}$, $\displaystyle \prod_{p=0}^{n-1} (1+x^{3^p}+x^{2\times3^p}) = \Frac{x^{3^n}-1}{x-1}$.
Exercice 782. Soit $n \in \N^*$. Soient $x_1, \hdots, x_n \in \R$ tels que $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k = n$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k^2 = n$. \\ Montrer que pour tout $1 \leqslant k \leqslant n$, $x_k =1$.

Exercice 783. Suite des coefficients binomiaux

\\ Soit $n \in \N^*$. \\ On considère la suite finie $(u_k)$ pour tout $k \in \llbracket 0, 2n \rrbracket$ définie par \[ u_k = \binom{2n}{k} \]
  1. En étudiant les variations de $(u_k)$, déterminer le rang de la valeur maximale de cette suite. \\
  2. En utilisant une somme, montrer l'inégalité $\Frac{2^{2n}}{2n+1} \leqslant \displaystyle \binom{2n}{n}$.

Exercice 784. Inégalité de Cauchy-Schwarz

\\ Soient $(a_1,\hdots,a_n) \in \R^n$ et $(b_1,\hdots,b_n) \in \R^2$. En considérant la fonction $f : x \mapsto \Sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2$, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz \[ \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}a_kb_k}^2 \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}a_k^2} \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}b_k^2} \]
Exercice 785. \\
    1. Montrer que pour tout $a \in \R$, $a(1-a)\leqslant \Frac{1}{4}$. \\
    2. En déduire que $\forall a \in [0,1]$, $\forall n \in \N$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a^k(1-a)^k \leqslant \Frac{4}{3}$. \\
  2. Montrer que $\forall a \in [0;1]$, $\forall n \in \N$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a^k(1-a)^k \leqslant \Frac{1}{1-a}$.

Exercice 786. Formule de Koenig-Huygens

\\ Soient $x_1,\hdots,x_n$ des réels. On note $m = \Frac{x_1+\hdots+x_n}{n}$ la moyenne des $(x_i)$. \\ Montrer la formule de Koenig-Huygens : \[ \Frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2 = \parenthese{\Frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2}-m^2 \]
Exercice 787. Calculer, pour $n, p \in \N^*$, la somme suivante : \[ \Sum_{i=0}^{n} \parenthese{ \Prod_{j=1}^{p}(i+j) }. \]
Exercice 788. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Prod_{k=0}^{n-1} \Frac{n!}{k!} = \Prod_{k=1}^{n} k^k$.
Exercice 789. Soit $\un$ une suite à termes dans $\R^*_+$ telle que \[ \forall n \in \N^*, \;\; \Sum_{k=1}^{n} u_k^3 = \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} u_k^2}^3 \] Montrer que $\forall n \in \N^*$, $u_n = n$.

Exercice 790. Formule d'inversion de Pascal

\\ Soient $n \in \N$ et $a_0, \hdots, a_n, b_0, \hdots, b_n$ des réels vérifiants \[ \forall p\in \llbracket 0,n \rrbracket, \quad b_p = \Sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a_k \] Montrer la formule d'inversion de Pascal : \[ \forall p \in \llbracket 0,n \rrbracket, \quad a_p = \Sum_{k=0}^{p}(-1)^{p-k}\binom{p}{k} b_k \]
Exercice 791. \\
  1. Montrer que, pour $n \in \N$ fixé, la suite des coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ est croissante lorsque $k$ varie de $0$ à $\left\lfloor \Frac{n+1}{2} \right\rfloor$. \\
  2. Montrer que la suite de terme général \[ x_n = \Frac{1}{\binom{n}{0}} + \Frac{1}{\binom{n}{1}} + \dots + \Frac{1}{\binom{n}{n}} \] est convergente et que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_n = 2$.
Exercice 792. Montrer que pour tout $(n,p) \in \N^* \times \N$, $\Sum_{k=0}^{p}(-1)^k\binom{n}{k}=(-1)^p\binom{n-1}{p}$.\\ On proposera deux méthodes, l’une algébrique, l’autre combinatoire.
Exercice 793. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{4^n}{2n} \leqslant \binom{2n}{n} < 4^n$.\\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{4^n}{2\sqrt{n}} \leqslant \binom{2n}{n} < \Frac{4^n}{\sqrt[3]{n}}$.
Exercice 794. Supposons que les entiers strictements positifs $x$, $y$ et $z$ soient solution de l’équation de Fermat $x^n+y^n=z^n$ (où $n \in \N^*$, $n \geqslant 2$).\\ En minorant $(y+1)^n-y^n$, montrer que $x$, $y$ et $z$ sont supérieurs ou égaux à $n$.
Exercice 795. \\
  1. Montrer, pour $x \neq 0$, que \[ \lim_{n \to +\infty} \cos\!\left(\Frac{x}{2}\right) \times \cos\!\left(\Frac{x}{2^{2}}\right) \times \dots \times \cos\!\left(\Frac{x}{2^{n}}\right) = \Frac{\sin(x)}{x}. \]
  2. En déduire la formule de Viète : \[ \Frac{2}{\pi} = \sqrt{\Frac{1}{2}} \;\sqrt{\Frac{1}{2} \;\sqrt{\Frac{1}{2}}} \;\sqrt{\Frac{1}{2} \;\sqrt{\Frac{1}{2} \;\sqrt{\Frac{1}{2}}}} \times \dots \]
Exercice 796. Pour tout $x \in \R$, on pose $\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$.\\ Montrer qu’il existe $c \in [0,1[$ tel que pour tout $n \in \N^*$, pour tout $(x_i)_{i \in \llbracket 1,n \rrbracket} \in (\R_+^*)^n$, on ait\\ \[ \Sum_{(i,j)\in \llbracket 1,n \rrbracket^2} \left\{\Frac{x_i}{x_j}\right\} \leqslant c n^2. \]
Exercice 797. Pour $i_1,\ldots,i_n \geqslant 0$ tels que $i_1+\cdots+i_n=k$, on note\\ \[ \binom{k}{i_1,\ldots,i_n}=\Frac{k!}{i_1!\cdots i_n!}.\\ \] Par convention, $\binom{k}{i_1,\ldots,i_n}=0$ dans les autres cas.\\ Montrer la formule du multinôme\\ \[ \forall n \in \N,\;\;\forall (x_1,\ldots,x_n) \in \R^n,\;\;\forall k \in \N,\;\; (x_1+\cdots+x_n)^k=\Sum_{\substack{(i_1,\ldots,i_n)\in\N^n\\ i_1+\cdots+i_n=k}} \binom{k}{i_1,\ldots,i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}.\\ \]