Calculs de produits

Exercice 801. Calculer, pour tout $a \in \R^*$, le produit $\displaystyle \prod_{k=0}^{n}a^k$ pour $n \in \N$.
Exercice 802. Calculer les produits suivants : \\
  1. $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sqrt{1+\Frac{1}{k}}$. \\
  2. $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}2^{3k+5}$. \\
  3. $\displaystyle \prod_{k=2}^{n}\parenthese{1-\Frac{1}{k^2}}$.
Exercice 803. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}(2k)! = ((n+1)!)^n$.
Exercice 804. Calculer le produit suivant \[ \prod_{k=1}^{n} \parenthese{1+\Frac{1}{k}}^{k} \]
Exercice 805.
  1. Pour $n \in \N^*$, exprimer les produits suivants à l'aide de puissances de $2$ et de factorielles \[ \prod_{k=1}^{n}(2k) \quad et \quad \prod_{k=1}^{n}(2k-1) \]
  2. En déduire que $(2n)! < 2^{2n}(n!)^2$.

Exercice 806. Produit telescopique

Calculer pour $n \in \N^*$, $\ln\parenthese{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\Frac{k+1}{k}}$.

Exercice 807. Produit telescopique n°2

Soit $n\geqslant 2$. Calculer $\displaystyle \prod_{k=2}^{n}\parenthese{1-\Frac{1}{k^2}}$.
Exercice 808. Montrer par deux méthodes (avec et sans récurrence) que : $\forall n \in \N, \; \displaystyle \prod_{k=0}^{n}(2k+1) = \Frac{(2n+1)!}{2^n n!}$.