Calculs de produits

Exercice 663. Produit telescopique

\\ Calculer pour $n \in \N^*$, $\ln\parenthese{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\Frac{k+1}{k}}$.
Exercice 664. Calculer, pour tout $a \in \R^*$, le produit $\displaystyle \prod_{k=0}^{n}a^k$ pour $n \in \N$.

Exercice 665. Calculs simples

\\Calculer les produits suivants : \\
  1. $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sqrt{1+\Frac{1}{k}}$. \\
  2. $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}2^{3k+5}$. \\
  3. $\displaystyle \prod_{k=2}^{n}\parenthese{1-\Frac{1}{k^2}}$.

Exercice 666. Calculs de produits n°2

\\ Calculer les produits suivants : \\
  1. $\Prod_{k=1}^{n} \Frac{3^{k+1}}{k(k+1)}$. \\
  2. $\Prod_{k=1}^{n}\parenthese{k^2-\Frac{1}{4}}$. \\
  3. Pour $(n,p) \in \N^2$, $\Prod_{k=1}^{n}\parenthese{1+\Frac{p}{k}}$. \\
  4. $\Prod_{p=0}^{n-1}\Sum_{k=0}^{p}2^{p!k}$.

Exercice 667. Calculs de produits n°3

\\ Calculer les produits : \\
  1. $\Prod_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+1)}$ \\
  2. $\Prod_{k=0}^{n} (-5)^{k^2-k}$ \\
  3. $\Prod_{k=1}^{n} \Frac{4^k}{k^2}$ \\
  4. $\Prod_{1 \leqslant i,j \leqslant n} x^{i+j}$ \\
  5. $\Prod_{1 \leqslant i,j \leqslant n} i^{j}$ \\
  6. $\Prod_{1 \leqslant i,j \leqslant n} ij$
Exercice 668. Calculer le produit suivant \[ \prod_{k=1}^{n} \parenthese{1+\Frac{1}{k}}^{k} \]
Exercice 669. \\
  1. Pour $n \in \N^*$, exprimer les produits suivants à l'aide de puissances de $2$ et de factorielles \[ \prod_{k=1}^{n}(2k) \quad et \quad \prod_{k=1}^{n}(2k-1) \]
  2. En déduire que $(2n)! < 2^{2n}(n!)^2$.
Exercice 670. Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 1$, $\Prod_{k=1}^{n}(n+k) = 2^{n} \prod_{k=1}^{n}(2k-1)$.
Exercice 671. Calculer le produit $\Prod_{k=1}^{n} 2^{\frac{1}{k(k+1)}}$.
Exercice 672. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, \[ \displaystyle \prod_{k=1}^{n}(2k)! \geqslant ((n+1)!)^n \]
Exercice 673. Soient $a \in \R$ et $P = \Prod_{k=0}^{n}(1+a^{2^k})$. \\
  1. Calculer $P$ quand $a=1$.\\
  2. Calculer $(1-a)P$ quand $a \neq 1$ et en déduire la valeur de $P$. \\
  3. Expliquer la formule obtenue.
Exercice 674. Pour tout $(n,p) \in \N^* \times \N$, calculer \[ \Prod_{k=0}^{n-1}(n(n+p)-k(k+p)) \]
Exercice 675. Calculer, pour tout $n \in \N^*$, le produit \[ P_n = \Prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij \]