Calculs de produits

Exercice 858. Produit telescopique

\\ Calculer pour $n \in \N^*$, $\ln\parenthese{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\Frac{k+1}{k}}$.
Exercice 859. Calculer, pour tout $a \in \R^*$, le produit $\displaystyle \prod_{k=0}^{n}a^k$ pour $n \in \N$.

Exercice 860. Calculs simples

\\Calculer les produits suivants : \\
  1. $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sqrt{1+\Frac{1}{k}}$. \\
  2. $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}2^{3k+5}$. \\
  3. $\displaystyle \prod_{k=2}^{n}\parenthese{1-\Frac{1}{k^2}}$.

Exercice 861. Calculs simples n°2

\\ Calculer les produits suivants : \\
  1. $\Prod_{k=1}^{n} \Frac{3^{k+1}}{k(k+1)}$. \\
  2. $\Prod_{k=1}^{n}\parenthese{k^2-\Frac{1}{4}}$. \\
  3. Pour $(n,p) \in \N^2$, $\Prod_{k=1}^{n}\parenthese{1+\Frac{p}{k}}$. \\
  4. $\Prod_{p=0}^{n-1}\Sum_{k=0}^{p}2^{p!k}$.

Exercice 862. Calculs simples n°3

\\ Calculer les produits : \\
  1. $\Prod_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+1)}$ \\
  2. $\Prod_{k=0}^{n} (-5)^{k^2-k}$ \\
  3. $\Prod_{k=1}^{n} \Frac{4^k}{k^2}$ \\
  4. $\Prod_{k=0}^{n}(2k+1)$ \\
  5. $\Prod_{k=1}^{n}(4k^2-1)$ \\
  6. $\Prod_{1 \leqslant i,j \lqslant n} x^{i+j}$ \\
  7. $\Prod_{k=2}^{n}\parenthese{1-\Frac{1}{k}}$ \\
  8. $\Prod_{1 \leqslant i,j \leqslant n} i^{j}$ \\
  9. $\Prod_{1 \leqslant i,j \leqslant n} ij$ \end{align*}
Exercice 863. Calculer le produit suivant \[ \prod_{k=1}^{n} \parenthese{1+\Frac{1}{k}}^{k} \]
Exercice 864. \\
  1. Pour $n \in \N^*$, exprimer les produits suivants à l'aide de puissances de $2$ et de factorielles \[ \prod_{k=1}^{n}(2k) \quad et \quad \prod_{k=1}^{n}(2k-1) \]
  2. En déduire que $(2n)! < 2^{2n}(n!)^2$.
Exercice 865. Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 1$, $\Prod_{k=1}^{n}(n+k) = 2^{n} \prod_{k=1}^{n}(2k-1)$.
Exercice 866. Calculer le produit $\Prod_{k=1}^{n} 2^{\frac{1}{k(k+1)}}$.
Exercice 867. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}(2k)! \geqslant ((n+1)!)^n$.
Exercice 868. Soient $a \in \R$ et $P = \Prod_{k=0}^{n}(1+a^{2^k})$. \\
  1. Calculer $P$ quand $a=1$.\\
  2. Calculer $(1-a)P$ quand $a \neq 1$ et en déduire la valeur de $P$. \\
  3. Expliquer la formule obtenue.