Calculs de produits

Exercice 833. Produit telescopique

\\ Calculer pour $n \in \N^*$, $\ln\parenthese{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\Frac{k+1}{k}}$.
Exercice 834. Calculer, pour tout $a \in \R^*$, le produit $\displaystyle \prod_{k=0}^{n}a^k$ pour $n \in \N$.
Exercice 835. Calculer les produits suivants : \\
  1. $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sqrt{1+\Frac{1}{k}}$. \\
  2. $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}2^{3k+5}$. \\
  3. $\displaystyle \prod_{k=2}^{n}\parenthese{1-\Frac{1}{k^2}}$.
Exercice 836. Calculer le produit suivant \[ \prod_{k=1}^{n} \parenthese{1+\Frac{1}{k}}^{k} \]
Exercice 837.
  1. Pour $n \in \N^*$, exprimer les produits suivants à l'aide de puissances de $2$ et de factorielles \[ \prod_{k=1}^{n}(2k) \quad et \quad \prod_{k=1}^{n}(2k-1) \]
  2. En déduire que $(2n)! < 2^{2n}(n!)^2$.
Exercice 838. Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 1$, $\Prod_{k=1}^{n}(n+k) = 2^{n} \prod_{k=1}^{n}(2k-1)$.
Exercice 839. Calculer le produit $\Prod_{k=1}^{n} 2^{\frac{1}{k(k+1)}}$.
Exercice 840. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}(2k)! \geqslant ((n+1)!)^n$.
Exercice 841. Soient $a \in \R$ et $P = \Prod_{k=0}^{n}(1+a^{2^k})$. \\
  1. Calculer $P$ quand $a=1$.\\
  2. Calculer $(1-a)P$ quand $a \neq 1$ et en déduire la valeur de $P$. \\
  3. Expliquer la formule obtenue.