Calcul de sommes

Exercice 834. Question de cours

\\
  1. Donner la valeur, pour $n \in \N$ de $\Sum_{k=0}^{n} k$ et démontrer le résultat. \\
  2. Pour $n \in \N$ et $q \in \R$, donner la valeur de $\Sum_{k=0}^{n} q^k$ et démontrer le résultat. \\
  3. Pour $n \in \N$, donner la valeur de $\Sum_{k=0}^{n} k^2$ et démontrer le résultat.

Exercice 835. Calculs simples

\\ Calculer les sommes suivantes : \\
  1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(2k+1)$\\
  2. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{k+1}$ \\
  3. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k(k+1)$ \\
  4. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{2^{k+3}}$ \\
  5. $\Sum_{i=0}^{n} \Frac{2^{i}}{3^{2i-1}}$.

Exercice 836. Calculs simples n°2

\\ Calculer les sommes suivantes : \\
  1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k2^{2k-1}$. \\
  2. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}2^k3^{n-k}$. \\
  3. $\displaystyle \sum_{k=3}^{n+4}(k-2)^2$. \\
  4. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln\parenthese{1+\Frac{1}{k}}$. \\
  5. $\displaystyle \sum_{k=2}^{2n}(k+2^k)$. \\
  6. $\displaystyle \sum_{i=n}^{2n}\Frac{1}{3^{i/2}}$. \\
  7. $\displaystyle \sum_{i=0}^{2n}i(i+1)$. \\
  8. $\displaystyle \sum_{i=n+1}^{2n}\parenthese{\Frac{1}{2^i}}^2$.

Exercice 837. Calculs simples n°3

\\ Calculer les sommes suivantes : \\
  1. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ln(k)$ \\
  2. $\displaystyle \sum_{k=p}^{n}q^k$ pour $q \neq 1$ et $n \geqslant p$. \\
  3. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k(k+1)(k-1)$.

Exercice 838. Sommes binomiales

\\ Calculer \\
  1. $\Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{3k}$ \\ \\
  2. $\Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{n-3k}3^{2k+1}$ \\ \\
  3. $\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}$ \\ \\
  4. $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$.

Exercice 839. Sommes binomiales n°2

\\ Calculer : \\
  1. $S = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{2^k}\binom n k$.\\
  2. $T = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom n k$. \\
  3. $V = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k+1}\binom n k $.
Exercice 840. Pour tout $n \geqslant p$, montrer que $\displaystyle \sum_{k=p}^{n} \binom k p = \binom{n+1}{p+1}$.
Exercice 841. Soit $p \in \N^*$, montrer que $\Sum_{k=0}^{p}\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k} = 2^p \binom{n}{p}$.
Exercice 842. \\
  1. Calculer la somme $\Sum_{k=1}^{n}\parenthese{(-1)^k\displaystyle\binom{2n}{k}-(-1)^{k-1}\displaystyle\binom{2n}{k-1}}$. \\
  2. En déduire la valeur de la somme $\Sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\binom{2n+1}{k}$.
Exercice 843. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{2n}\abs{k-n}$.
Exercice 844. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n} \min(k,n)$.
Exercice 845. Calculer pour tout $n \in \N^*$ la somme $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}$.
Exercice 846. Calculer la somme $S = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{1+2+\hdots+k}$.
Exercice 847. Montrer que pour tout $k \in \N$, $\Frac{1}{(k+1)(k+2)} = \Frac{1}{k+1}- \Frac{1}{k+2}$. \\ En déduire $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{(k+1)(k+2)}$.

Exercice 848. Un classique

\\ Soit $n \in \N$, calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\times k!$.
Exercice 849. Calculer $\Sum_{k=0}^{n} \Frac{k}{(k+1)!}$.
Exercice 850. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in\N^*}$ définie par $u_n = \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k+n}$ est croissante.
Exercice 851. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$.
Exercice 852. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k+1}2^{k}3^{n-k}$.
Exercice 853. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{2n}\Frac{(-1)^{k-1}}{k} = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{n+k}$.
Exercice 854. Démontrer que pour tout $a,b \in \R$, pour tout $n\in \N$, \[a^{n}-b^n = \displaystyle (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\] sans utiliser de raisonnement par récurrence.
Exercice 855. Calculer pour $n \in \N^*$ la somme $S = \Sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\Frac{1}{k^2}+\Frac{1}{(k+1)^2}}$.
Exercice 856. Calculer $S = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k2^k$ en posant $i = k-1$.
Exercice 857. Calculer $\Sum_{k=1}^{n}k^22^k$.