Calcul de sommes

Exercice 814. Question de cours

\\
  1. Donner la valeur, pour $n \in \N$ de $\Sum_{k=0}^{n} k$. \\
  2. Démontrer le résultat.

Exercice 815. Question de cours

\\
  1. Pour $n \in \N$ et $q \in \R$, donner la valeur de $\Sum_{k=0}^{n} q^k$. \\
  2. Démontrer le résultat.

Exercice 816. Question de cours

\\
  1. Pour $n \in \N$, donner la valeur de $\Sum_{k=0}^{n} k^2$. \\
  2. Démontrer le résultat.

Exercice 817. Calculs simples

\\ Calculer les sommes suivantes : \\
  1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(2k+1)$\\
  2. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{k+1}$ \\
  3. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k(k+1)$ \\
  4. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{2^{k+3}}$

Exercice 818. Calculs simples n°2

\\ Calculer les sommes suivantes : \\
  1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k2^{2k-1}$. \\
  2. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}2^k3^{n-k}$. \\
  3. $\displaystyle \sum_{k=3}^{n+4}(k-2)^2$. \\
  4. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln\parenthese{1+\Frac{1}{k}}$. \\
  5. $\displaystyle \sum_{k=2}^{2n}(k+2^k)$. \\
  6. $\displaystyle \sum_{i=n}^{2n}\Frac{1}{3^{i/2}}$. \\
  7. $\displaystyle \sum_{i=0}^{2n}i(i+1)$. \\
  8. $\displaystyle \sum_{i=n+1}^{2n}\parenthese{\Frac{1}{2^i}}^2$.

Exercice 819. Calculs simples n°3

\\ Calculer les sommes suivantes : \\
  1. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ln(k)$ \\
  2. $\displaystyle \sum_{k=p}^{n}q^k$ pour $q \neq 1$ et $n \geqslant p$. \\
  3. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k(k+1)(k-1)$.
Exercice 820. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{2n}\abs{k-n}$.
Exercice 821. Démontrer que pour tout $a,b \in \R$, pour tout $n\in \N$, \[a^{n}-b^n = \displaystyle (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\] sans utiliser de raisonnement par récurrence.
Exercice 822. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n} \min(k,n)$.
Exercice 823. Calculer pour tout $n \in \N^*$ la somme $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\parenthese{\Frac{1}{k}-\Frac{1}{k+1}}$.
Exercice 824. Montrer que pour tout $k \in \N$, $\Frac{1}{(k+1)(k+2)} = \Frac{1}{k+1}- \Frac{1}{k+2}$. \\ En déduire $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{(k+1)(k+2)}$.

Exercice 825. Un classique

\\ Soit $n \in \N$, calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\times k!$.
Exercice 826. Calculer $\Sum_{k=0}^{n} \Frac{k}{(k+1)!}$.
Exercice 827. Soit $\un$ une suite réelle. Soit $1 \leqslant p \leqslant n$. Calculer $\Sum_{i=p}^{n}(u_{i+1}-3u_i+2u_{i-1})$.
Exercice 828. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$.
Exercice 829. Calculer pour $n \in \N^*$ la somme $S = \Sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\Frac{1}{k^2}+\Frac{1}{(k+1)^2}}$.
Exercice 830. Calculer $S = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k2^k$ en posant $i = k-1$.
Exercice 831. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in\N^*}$ définie par $u_n = \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k+n}$ est croissante.
Exercice 832.
  1. Calculer la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k k$\\
    1. Exprimer, en fonction de $n$ entier naturel non nul, le plus grand entier $m$ tel que $2m \leqslant n$ et le plus grand entier naturel $p$ tel que $2p+1 \leqslant n$. \\
    2. En déduire la valeur de $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^kk$.