Calcul de sommes
Exercice
637. Calculer pour tout $n \in \N^*$ la somme $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}$.
Exercice
638. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{(k+1)(k+2)}$.
Exercice 639. Un classique
\\ Soit $n \in \N$, calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\times k!$.
Exercice
640. Calculer $\Sum_{k=0}^{n} \Frac{k}{(k+1)!}$.
Exercice
641. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$.
Exercice
642. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{2n}\abs{k-n}$.
Exercice
643. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n} \min(k,n)$.
Exercice
644. Calculer la somme $S = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{1+2+\hdots+k}$.
Exercice
645. Calculer pour $n \in \N^*$ la somme $S = \Sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\Frac{1}{k^2}+\Frac{1}{(k+1)^2}}$.
Exercice
646. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in\N^*}$ définie par $u_n = \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k+n}$ est croissante.
Exercice
647. Démontrer que pour tout $a,b \in \R$, pour tout $n\in \N$, \[a^{n}-b^n = \displaystyle (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\] sans utiliser de raisonnement par récurrence.
Exercice 648. Incontournable
\\ Etablir $\forall x \in \R \backslash \{1\}, \; \Sum_{k=1}^{n}kx^{k-1} = \Frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}$.
Exercice
649. Calculer $S = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k2^k$ en posant $i = k-1$.
Exercice
650. Calculer $\Sum_{k=0}^{2n}(-1)^k k$.
Exercice
651. Calculer pour tout $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2$.
Exercice
652. Calculer $\Sum_{k=1}^{n}k^22^k$.
Exercice 653. Sommes binomiales
\\ Calculer : \\- $A = \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{n}{k}$. \\
- $S = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{2^k}\binom n k$.\\
- $T = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom n k$. \\
- $V = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k+1}\binom n k $.
Exercice
654. Montrer que pour tout $n \in \N \setminus \{0,1\}$ on a \\
\[
\Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k^{2}} > \Frac{3n}{2n+1}.
\]
Exercice
655. Pour tout $n \geqslant p$, calculer $\displaystyle \sum_{k=p}^{n} \binom k p$.
Exercice
656. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k+1}2^{k}3^{n-k}$.
Exercice
657. Montrer que pour tout entier $n,p \in \N$, $\Sum_{k=0}^{p} \binom{n+k}{n} = \binom{p+n+1}{n+1}$.
Exercice
658. Soit $p \in \N^*$, montrer que $\Sum_{k=0}^{p}\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k} = 2^p \binom{n}{p}$.
Exercice
659. \\
- Etudier la fonction $f : x \mapsto (1+x)^n$ puis calculer $\Sum_{k=1}^{n}k \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=1}^{n}k^2 \binom{n}{k}$. \\
- Montrer l'identité : $\forall n \geqslant 2$, $k \displaystyle \binom{n}{k} = n \displaystyle \binom{n-1}{k-1}$. \\ En déduire une nouvelle façon de calculer $\Sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}$.
Exercice
660. Soient $x \in \R \setminus (-\N)$ et $n \in \N$.\\
Montrer que
\[
\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \Frac{(-1)^k}{x+k}
=
\Frac{n!}{x(x+1)\dots(x+n)}.
\]
Exercice
661. L’objectif est de déterminer la valeur de $S_n = \Sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{2^k} \displaystyle\binom{k}{n}$.\\
- Conjecturer la valeur de $S_n$ pour $n \in \N$. \\
- Montrer que, pour tout $n \in \N$, on a $S_n = \Sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2^{n+k}} \displaystyle\binom{n+k}{k}$. \\
- Soit $n \in \N$. Montrer que $\displaystyle \binom{2n+2}{n+1} = 2 \displaystyle \binom{2n+1}{n+1}$ et en déduire que $S_{n+1} = \dfrac{1}{2} S_n + \dfrac{1}{2} S_{n+1}$. \\
- Conclure.
Exercice
662. \\
- Calculer les sommes $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}$. \\
- En déduire les sommes suivantes $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; pair}} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; impair}} \binom{n}{k}$