Calcul de sommes

Exercice 718. Calculer pour tout $n \in \N^*$ la somme $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}$.
Exercice 719. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{(k+1)(k+2)}$.

Exercice 720. Un classique

\\ Soit $n \in \N$, calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\times k!$.
Exercice 721. Calculer $\Sum_{k=0}^{n} \Frac{k}{(k+1)!}$.
Exercice 722. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{2n}\abs{k-n}$.
Exercice 723. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n} \min(k,n)$.
Exercice 724. Calculer la somme $S = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{1+2+\hdots+k}$.
Exercice 725. Calculer pour $n \in \N^*$ la somme $S = \Sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\Frac{1}{k^2}+\Frac{1}{(k+1)^2}}$.
Exercice 726. Démontrer que pour tout $a,b \in \R$, pour tout $n\in \N$, \[a^{n}-b^n = \displaystyle (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\] sans utiliser de raisonnement par récurrence.

Exercice 727. Incontournable

\\ Etablir $\forall x \in \R \backslash \{1\}, \; \Sum_{k=1}^{n}kx^{k-1} = \Frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}$.
Exercice 728. Calculer $S = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k2^k$ en posant $i = k-1$.
Exercice 729. Calculer $\Sum_{k=0}^{2n}(-1)^k k$.
Exercice 730. Calculer pour tout $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2$.
Exercice 731. Calculer $\Sum_{k=1}^{n}k^22^k$.

Exercice 732. Sommes binomiales

\\ Calculer : \\
  1. $A = \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{n}{k}$. \\
  2. $S = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{2^k}\binom n k$.\\
  3. $T = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom n k$. \\
  4. $V = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k+1}\binom n k $.
Exercice 733. Pour tout $n \geqslant p$, calculer $\displaystyle \sum_{k=p}^{n} \binom k p$.
Exercice 734. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k+1}2^{k}3^{n-k}$.
Exercice 735. Montrer que pour tout entier $n,p \in \N$, $\Sum_{k=0}^{p} \binom{n+k}{n} = \binom{p+n+1}{n+1}$.
Exercice 736. Soit $p \in \N^*$, montrer que $\Sum_{k=0}^{p}\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k} = 2^p \binom{n}{p}$.
Exercice 737. \\
  1. Etudier la fonction $f : x \mapsto (1+x)^n$ puis calculer $\Sum_{k=1}^{n}k \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=1}^{n}k^2 \binom{n}{k}$. \\
  2. Montrer l'identité : $\forall n \geqslant 2$, $k \displaystyle \binom{n}{k} = n \displaystyle \binom{n-1}{k-1}$. \\ En déduire une nouvelle façon de calculer $\Sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}$.
Exercice 738. Soient $x \in \R \setminus (-\N)$ et $n \in \N$.\\ Montrer que \[ \Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \Frac{(-1)^k}{x+k} = \Frac{n!}{x(x+1)\dots(x+n)}. \]
Exercice 739. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $S_n=\Sum_{k=0}^{n}\Frac{(-1)^k}{\binom{n}{k}}$.\\
  1. Montrer, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $n!(n+2)S_n=\Big(1+(-1)^n\Big)(n+1)!$.\\
  2. En déduire l'expression de $S_n$ en fonction de $n$, selon la parité de $n$.
Exercice 740. L’objectif est de déterminer la valeur de $S_n = \Sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{2^k} \displaystyle\binom{k}{n}$.\\
  1. Conjecturer la valeur de $S_n$ pour $n \in \N$. \\
  2. Montrer que, pour tout $n \in \N$, on a $S_n = \Sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2^{n+k}} \displaystyle\binom{n+k}{k}$. \\
  3. Soit $n \in \N$. Montrer que $\displaystyle \binom{2n+2}{n+1} = 2 \displaystyle \binom{2n+1}{n+1}$ et en déduire que $S_{n+1} = \dfrac{1}{2} S_n + \dfrac{1}{2} S_{n+1}$. \\
  4. Conclure.
Exercice 741. \\
  1. Calculer les sommes $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}$. \\
  2. En déduire les sommes suivantes $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; pair}} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; impair}} \binom{n}{k}$
Exercice 742. Montrer, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\\ \[ \Sum_{k=0}^{n}\Frac{\binom{n}{k}}{(k+1)(n-k+1)}=\Frac{2^{n+2}-2}{(n+1)(n+2)}. \]