Sommes

Exercice 33. Un incontournable

\\ Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $0+1+2+3+\hdots+n = \Frac{ n(n+1)}{2}$.

Exercice 34. Un incontournable n°2

\\ Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $1^2+2^2+3^2+\hdots+n^2 = \Frac{ n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Exercice 35. Un incontournable n°3

\\ Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $\displaystyle 1^3+2^3+\hdots+n^3 = \parenthese{ \Frac{n(n+1)}{2} }^2$.

Exercice 36. Somme d'une suite géométrique

\\ Soit $q$ un réel différent de $1$. \\
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\Sum_{k=0}^{n}q^k = \Frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. \\
  2. En déduire l'expression de $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k$ avec $\un$ une suite géométrique de premier terme $u_0 \in \R$ et de raison $a \neq 1$.
Exercice 37. Soit $(S_n)$ la suite définie par $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k(k+1)}$.\\ Etablir, pour tout $n \in \N$, l'égalité $ S_n = 1 - \Frac{1}{n+1}$.
Exercice 38. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2) = \Frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$.
Exercice 39. Pour tout $n \in \N^*$, on considère $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^kk^2$. \\ Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = (-1)^n\Frac{n(n+1)}{2}$.
Exercice 40. \\
  1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $\;\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \times k! = (n+1)!-1$.\\
  2. En utilisant le fait que $k = (k+1)-1$, établir le résultat précédent sans passer par une récurrence.

Exercice 41. Suite de factorielles

\\ Soit $\un$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par \[ u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} = \Frac{1}{0!}+\Frac{1}{1!}+\Frac{1}{2!} + \hdots + \Frac{1}{n!} \]
  1. Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $2^{k-1} \leqslant k!$. \\
  2. Montrer que $\un$ est majorée par 3.

Exercice 42. Inégalité forte

\\
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 2$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n}$. \\
  2. Montrer sans passer par un raisonnement par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} \geqslant \sqrt{n}$.