Produit scalaire
5 exercices corrigés sur Produit scalaire, chapitre Produit scalaire, niveau Première Spé. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Soit un carré $ABCD$. On construit un rectangle $APQR$ tel que $P$ et $R$ sont respectivement sur les côtés $[AB]$ et $[AD]$ du carré et $AP=DR$.
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\item \textbf{Méthode géométrique.}
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\item Montrer que $\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{AR}=-AR\times DR$ puis que $\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{AP}=-AP\times BP$. En déduire que $\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{AP}$.
\item En déduire que les droites $(CQ)$ et $(RP)$ sont perpendiculaires.
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\item \textbf{Méthode analytique.}
On note $\ell$ la longueur du côté du carré et on se place dans un repère orthonormé d'origine $A$ dont les axes sont dirigés respectivement par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
Ainsi,
$$
A(0\,;\,0),\qquad B(\ell\,;\,0),\qquad D(0\,;\,\ell),\qquad C(\ell\,;\,\ell).
$$
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\item Si $P$ a pour coordonnées $(a\,;\,0)$, déterminer les coordonnées de $R$ et de $Q$.
\item Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{PR}$ et de $\overrightarrow{QC}$.
\item En déduire que les droites $(CQ)$ et $(RP)$ sont perpendiculaires.
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Exercice 2
Trois villes $A$, $B$ et $C$ forment un triangle tel que $AB=4$ km, $BC=3$ km et $\widehat{ABC}=60^\circ$.
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\item Calculer la distance $AC$.
\item Le point $D$ appartient au segment $[BC]$ et vérifie $BD=1{,}5$ km. Calculer la distance $AD$.
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Exercice 3
Soient $ABCD$ un carré de côté $a$, $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AD]$ et $[DC]$. On note $\alpha$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{IBJ}$.
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\item Montrer que $\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ} = \dfrac{5}{4}a^2\cos(\alpha)$.
\item Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BJ}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
\item En déduire une autre manière de calculer $\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ}$ et déterminer $\alpha$ au degré près.
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Exercice 4
Dans un repère orthonormé $(O \; ; \; \vec{i}, \vec{j})$, on donne les points $B(6 \; ; \; 0)$ et $C(2 \; ; \; 4)$.
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\item Déterminer les coordonnées du centre $\Omega$ du cercle circonscrit $(\mathscr{C})$ au triangle $OBC$. Déterminer le rayon de $(\mathscr{C})$.
\item Déterminer les coordonnées de l'orthocentre $H$ de $OBC$.
\item Déterminer les coordonnées du centre de gravité $G$ de $OBC$.
\item Montrer que $\Omega$, $H$ et $G$ sont alignés. Déterminer le réel $k$ tel que $\overrightarrow{\Omega H} = k\overrightarrow{\Omega G}$.
\item Montrer que $\overrightarrow{\Omega H} = \overrightarrow{\Omega O} + \overrightarrow{\Omega B} + \overrightarrow{\Omega C}$.
\item Déterminer les coordonnées de $H'$, symétrique de $H$ par rapport à la droite $(OB)$. Montrer que $H'$ est sur $(\mathscr{C})$.
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Exercice 5
Dans un plan orienté, $ABCD$ est un carré de sens direct. On construit à l'extérieur du carré un triangle $BMN$ rectangle isocèle en $B$, avec $\overrightarrow{BN}$ image de $\overrightarrow{BM}$ par la rotation d'angle $-\Frac\pi2$. On suppose $M\neq A$ et $N\neq C$.\\Démontrer que les droites $(AM)$ et $(CN)$ sont perpendiculaires.